Sattelpunkt

29.05.2006, 16:08

PG

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Sattelpunkt

Hi
ich habe folgende Fragen:
Ein Sattelpunkt hat in seiner Nähe keine Extrempunkte( im gegensatz zu einem Wendepunkt, das immer eine HP und TP hat) und hat die Steigung 0.
Eine Funktion hat dann einen Sattelpunkt, wenn die dritte Ableitung= 0 ist. Wie ist es mit folgenden Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$

hat keinen Sattelpunkt, da

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=6 \end{eqnarray*}$
also r-l-Kurve beim Wendepunkt... Doch das Problem wiederum ist, dass die Wendestelle x=0 ist, aber es geht ja nicht, denn

$\begin{eqnarray*} f'''(0)=6\cdot0^0\to nicht....definierbar \end{eqnarray*}$

was ist es nun und warum...

$\begin{eqnarray*} g(x)=x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=4x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g''(x)=12x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'''(x)=24x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'''(0)=0 \end{eqnarray*}$

also Sattelpunkt, aber bei der Zeichnung sieht es wie ein Tiefpunkt aus doch nach der Rechnung muss es Sattelpunkt sein...

Ab hier lasse ich es stehen, da für die weiteren das selbe gelten muss.
Nun kann mir einer erklären, wie ich das herausfinden kann?? Lehrer

Lehrer

Danke

29.05.2006, 16:19

derkoch

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RE: Sattelpunkt

Zitat:

Original von PG
Hi
ich habe folgende Fragen:
Ein Sattelpunkt hat in seiner Nähe keine Extrempunkte( im gegensatz zu einem Wendepunkt, das immer eine HP und TP hat) und hat die Steigung 0.
Eine Funktion hat dann einen Sattelpunkt, wenn die dritte Ableitung= 0 ist. Wie ist es mit folgenden Funktionen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$

hat keinen Sattelpunkt, da

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=6 \end{eqnarray*}$

Diese Aussage ist falsch!!!

für einen Sattelpunkt gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

und ganz wichtig : $\begin{eqnarray*} f'''(x_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$

die von dir gestellte funktion : $\begin{eqnarray*} f(x) =x^3 \end{eqnarray*}$ besitzt an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0= 0 \end{eqnarray*}$ einen Sattelpunkt!

29.05.2006, 16:25

PG

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hi

achso.... verstehe... deswegen habe ich immer was anderes lol- nun hast du mir die richtige definition gegeben!

Die folgendermaßen lautet:

$\begin{eqnarray*} f'(x_S)=0 \end{eqnarray*}$ , da steigung Null ist

$\begin{eqnarray*} f''(x_S)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x_S)\neq0 \end{eqnarray*}$ dritte Ableitung muss also ungleich Null sein!

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=20x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=60x^2 \end{eqnarray*}$

ist das dann kein Sattelpunkt? In der Zeichnung siehts nach einer aus

Was sagst du nun? *gespannt*

29.05.2006, 16:42

Sunwater

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es muss nicht unbedingt die dritte Ableitung null sein...

aber wenn die erste Ableitung, die nicht(!) Null ist ungerade ist, dann hast du einen Sattelpunkt - das kann man auch beweisen...

und hier ist ja die 5. Ableitung die erste, die nicht Null wird - daher hast du nen Sattelpunkt

29.05.2006, 16:48

PG

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hmm jetzt verwirrt es mich wieder...

1 )was meint dann derkoch mit $\begin{eqnarray*} f'''(x_0)\neq0 \end{eqnarray*}$ ?
Er will doch damit, etwas sagen...

2) wie ist es dann mit folgender Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^3+3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=6x^2+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=12 \end{eqnarray*}$

was hat das denn und warum?

29.05.2006, 17:57

speedyschmidt

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Das ist ein ganz normaler wendepunkt(der auch noch zufälligerweise auf der Nullstelle liegt) , der deine Definition von oben widerlegt( du hattest gesagt eine Funktion mit Wendepunkt hat immer Hoch- und Tiefpunkt)!

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29.05.2006, 18:10

PG

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hi
zU 1) kannst du mir bitte die Frage beantworten, also was derkoch damit meinte, also 3.ableitung ungleich null !

zu 2) .... hmmm es ist tatsächlich alles möglich.... Aber das problem ist,dass der Wendepunkt bei x=0 liegt und wenn ich das in der dritten ableitung einsetze, die funktion aufgrund von 0^0 nicht definiert ist und ich somit nicht weiss, ob es sich um eine rechts- links bzw. links- rechts-kurve handelt . in der Zeichnung sieht man das natürlich, aber rechnerisch kann man das nicht zeigen..., denn:

$\begin{eqnarray*} f'''(0)=12\cdot 0^0 \end{eqnarray*}$
f'''(0)= nicht definiert!!

was sagst du nun? Ich bin wie immer auf die antworten gespannt geschockt

geschockt

29.05.2006, 18:17

derkoch

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Zitat:

Original von PG
hi
zU 1) kannst du mir bitte die Frage beantworten, also was derkoch damit meinte, also 3.ableitung ungleich null !

zu 2) .... hmmm es ist tatsächlich alles möglich.... Aber das problem ist,dass der Wendepunkt bei x=0 liegt und wenn ich das in der dritten ableitung einsetze, die funktion aufgrund von 0^0 nicht definiert ist und ich somit nicht weiss, ob es sich um eine rechts- links bzw. links- rechts-kurve handelt . in der Zeichnung sieht man das natürlich, aber rechnerisch kann man das nicht zeigen..., denn:

$\begin{eqnarray*} f'''(0)=12\cdot 0^0 \end{eqnarray*}$
f'''(0)= nicht definiert!!

was sagst du nun? Ich bin wie immer auf die antworten gespannt geschockt

geschockt

so erstma ein paar sachen:

1.) warum sollte $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert sein?

2.) frage: ist $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ überhaupt die nullstelle von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ ?
klare antwort : nein!!
warum setzt du dann $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in die dritte ableitung?

29.05.2006, 18:32

PG

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zu 1) also eins bin ich mir sicher $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert, denn in meinem Taschenrechner kommt error raus und es ist auch logisch, denn dann wäre ja null im nenner.

-was hast du für $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ ?

-die andere Frage war, warum f'''(x_{Sattelwert})\neq0
sein muss, damit man einen Sattelpunkt hat?

zu 2)

Zitat:

frage: ist überhaupt die nullstelle von und ?
klare antwort : nein!!
warum setzt du dann in die dritte ableitung?

ja das ist mir auch klar gewesen, denn wenn man die erste ableitung 0 setzt, dann kann man nicht die wurzel ziehen---> keine Extrempunkt

Doch ich habe für Wendewert bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=12x^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(0)=12\cdot0^0 \end{eqnarray*}$
und das ist nicht definiert- ich habe es mit taschenrechner probiert ...

wie bekommt man das trotzdem raus?

29.05.2006, 20:41

Sunwater

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$\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ wird definiert als 1

29.05.2006, 20:42

PG

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warum geht, das dann nicht auf meinem Taschenrechner? da kommt error 2...

ich finde das auch logisch, das nicht geht

$\begin{eqnarray*} \frac{0^a}{0^a} \end{eqnarray*}$

im nenner 0...

was nun?

29.05.2006, 20:53

system-agent

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ich denke diese diskussion mit $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ wurde hier im board schon des öfteren angeschnitten, aber wie dem auch sei, ein wendepunkt liegt doch vor, wenn $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einen vorzeichenwechsel hat. das mit $\begin{eqnarray*} f'''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ sichert lediglich, dass dort ein VZW ist...

29.05.2006, 21:11

PG

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ich versteh bahnhof...
jeder behauptet was anderes, aber das mit dem sattelpunkt verwirrt mich immer mehr...

hier eine Aufgabe:

Für welche reelen, positiven Werte des Parameters k besitzt $\begin{eqnarray*} f_k(x)=x^3+kx^2+kx-k^2 \end{eqnarray*}$ einen Sattelpunkt?

das würde ich jetzt so machen:

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)=3x^2+2kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=3x^2+2kx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x(3x+2k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3x+2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= -\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_k(x)=6x+2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= -\frac{k}{3} \end{eqnarray*}$

dann würde ich die x gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{k}{3}=-\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$

also für keine k's in den positiven reellen Werten hat es einen Sattelpunkt!

ist das so richtig?

edit: das ist bestimmt falsch.. ich versteh alles, außer das mit dem Sattelpunkt und morgen ist Klausur...

29.05.2006, 21:39

PG

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könnt ihr bitte darauf schnell antworten, weil ich das echt bis morgen früh brauche und ich möchte heute früh schlafen...

danke

29.05.2006, 21:41

system-agent

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ich hab doch gesagt, teste f'' auf VWZ, dort gibts dann auch den WP...eine monotonietabelle wirkt da wunder !

29.05.2006, 21:44

PG

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nein ich habe eine neue aufgabe....

bitte ich brauch die... was habe ich falsch bzw. wie geht das?

edit: das $\begin{eqnarray*} f'''(x)\neq0 \end{eqnarray*}$

warum sichert es, dass es kein VZW gibt?

29.05.2006, 21:48

system-agent

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weil wenn die erste ableitung einer funktion null wird, dort die tangente horizontal ist, was häufig auf einen extrempunkt hinweist...und ein extrempunkt als nullstelle hat bekanntlich keinen VZW, sondern nur eine doppelte NS

29.05.2006, 21:55

PG

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Zitat:

Original von PG
ich versteh bahnhof...
jeder behauptet was anderes, aber das mit dem sattelpunkt verwirrt mich immer mehr...

hier eine Aufgabe:

Für welche reelen, positiven Werte des Parameters k besitzt $\begin{eqnarray*} f_k(x)=x^3+kx^2+kx-k^2 \end{eqnarray*}$ einen Sattelpunkt?

das würde ich jetzt so machen:

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)=3x^2+2kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=3x^2+2kx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x(3x+2k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3x+2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= -\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_k(x)=6x+2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= -\frac{k}{3} \end{eqnarray*}$

dann würde ich die x gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{k}{3}=-\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$

also für keine k's in den positiven reellen Werten hat es einen Sattelpunkt!

ist das so richtig?

diese aufgabe mein ich- wie kann ich das lösen?

29.05.2006, 22:08

Calvin

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Die Bedingungen, die alle gleichzeitig an einem Sattelpunkt vorliegen müssen, sind folgende:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0\\f''(x_0)=0\\f'''(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Deswegen ist dein Ansatz an folgender Stelle falsch:

Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} f''_k(x)=6x+2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= -\frac{k}{3} \end{eqnarray*}$

Du musst hier nicht die Nullstelle der 2. Ableitung ausrechnen. Du hast bereits die Nullstelle der ersten Ableitung berechnet. Dieses $\begin{eqnarray*} x_0=-\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$ musst du in die 2. Ableitung einsetzen und genau die k suchen, für die dann die zweite Ableitung 0 wird. (*)

Danach setzt du $\begin{eqnarray*} x_0=-\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$ in die dritte Ableitung ein. Dann suchst du unter den gefundenen k von (*) genau die raus, für die die 3. Ableitung ungleich 0 wird.

EDITH wünscht noch viel Erfolg morgen smile

smile

29.05.2006, 22:09

derkoch

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Zitat:

Original von PG

Zitat:

Original von PG
ich versteh bahnhof...
jeder behauptet was anderes, aber das mit dem sattelpunkt verwirrt mich immer mehr...

hier eine Aufgabe:

Für welche reelen, positiven Werte des Parameters k besitzt $\begin{eqnarray*} f_k(x)=x^3+kx^2+kx-k^2 \end{eqnarray*}$ einen Sattelpunkt?

das würde ich jetzt so machen:

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)=3x^2+2kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=3x^2+2kx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x(3x+2k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=3x+2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= -\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_k(x)=6x+2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= -\frac{k}{3} \end{eqnarray*}$

dann würde ich die x gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{k}{3}=-\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$

also für keine k's in den positiven reellen Werten hat es einen Sattelpunkt!

ist das so richtig?

diese aufgabe mein ich- wie kann ich das lösen?

die 1. ableitung ist schon mal ein schuß in den Ofen! dann kann der rest ja auch nicht so ganz stimmen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.05.2006, 22:11

PG

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also, ich glaube ich habe das prinzip verstanden, aber wie bekomme ich

$\begin{eqnarray*} x_0=\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$ ??

das hast du ja stehen..

edit: achso- übrigens ist das ergebnis falsch $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{2k}{3} \end{eqnarray*}$ ,denn ich habe falsch abgeleitet

ich schreibe gleich das richtige

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2+2kx+k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^2+2/3\cdot kx+k/3 \end{eqnarray*}$

p-q-formel:

2. dann die beiden werte in 2. ableitung und so k ausdenken, dass 2. ableitung null wird.

3. dann bei dritte ableitung diese k so auswählen, dass ungleich null

ist das so richtig, also der weg?

sagt antwort ich versuch es solange.

dankeee

29.05.2006, 22:14

Calvin

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@PG da hatte ich ein Minuszeichen vergessen. Ist inzwischen korrigiert.

Das war deine gefundene Nullstelle der ersten Ableitung. Aber wie derKoch festgestellt hat, war deine erste Ableitung schon falsch. Das hatte ich nicht überprüft, da ich das Prinzip erklären wollte smile

smile

In den von mir beschriebenen Bedingungen siehst du, dass sich die 3 Bedingungen alle auf den selben x-Wert beziehen.

29.05.2006, 22:24

Calvin

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Zitat:

Original von PG
ich schreibe gleich das richtige

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2+2kx+k \end{eqnarray*}$

Bist du sicher, dass du die Funktion richtig hingeschrieben hast? Die Nullstellen sind nämlich grauenvoll. Ist beim letzten k nicht vielleicht ein $\begin{eqnarray*} -k^2 \end{eqnarray*}$ heißt? Bei positivem Vorzeichen hättest du zusätzlich noch komplexe Nullstellen verwirrt

verwirrt

Zitat:

2. dann die beiden werte in 2. ableitung und so k ausdenken, dass 2. ableitung null wird.

Ist ein bißchen unglücklich ausgedrückt Big Laugh

Big Laugh

Setze die Nullstellen in die zweite Ableitung ein. Das, was du da rausbekommst, hängt nur noch von k ab. Setze das dann gleich 0 und löse nach k auf.

Zitat:

3. dann bei dritte ableitung diese k so auswählen, dass ungleich null

Setze die gefundene Stelle auch in die 3. Ableitung ein. Setze dann alle k aus dem letzten Schritt ein und schau, für welche es ungleich null wird.

Vermutlich wird es aber einfacher zu sein, genau die k auszuschließen, für die die dritte Ableitung an dieser Stelle null werden würde.

29.05.2006, 22:30

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

also
ich habe bei ersten ableitung
$\begin{eqnarray*} k_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_2=3 \end{eqnarray*}$
unter der wurzel darf ja nicht negativ werden,also dann gilt

0>k>=3

das müsste richtig sein

puh geschafft... bitte noch überprüfen

also alle k zwischen 0 und 3 mit der 3,

dankeeeeeeeeeeee

29.05.2006, 22:34

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
also
ich habe bei ersten ableitung
$\begin{eqnarray*} k_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_2=3 \end{eqnarray*}$

Äh was?

verwirrt

Du brauchst zunächst die Nullstellen deiner ersten Ableitung. Deine Variable ist also x. Deine Ergebnisse müssen also heißen $\begin{eqnarray*} x_1=\text{irgendwas mit k} \quad x_2=\text{irgendwas mit k} \end{eqnarray*}$

Wie in meinem letzten Posting angemerkt, sind diese Nullstellen ziemlich eklig. Bist du sicher, dass du dich hier nicht bei der Funktion verschrieben hast?

29.05.2006, 22:44

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

ok

Nullstellen lauten so:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{k}{3}\pm\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}} \end{eqnarray*}$

das sind die Nullstellen, dann habe ich berechnet, für welches k ich nullstellen bekomme, also einfach den Ausdruck in der Wurzel gleich Null und dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} k_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_2=3 \end{eqnarray*}$
also alle zahlen dazwischen und sie selbst gehen- das ist bestimmt falsch- nun habe ich dein verfahren verstanden
Nun meinst du, dass ich das in der zweiten ableitung einsetzen soll..
und gleich null

$\begin{eqnarray*} 0=6x+k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=6(\frac{k}{3} +\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}} )+k \end{eqnarray*}$

also doch wieder unter der Wurzel, das gleich setzen und dann habe ich die gleichen k's nämlich 0 und 3, wobei nur alle zahlen dazwischen gehen außer null, da keine 0 unter nenner stehen darf und da wir nur positive zahlen nehmen dürfen.

$\begin{eqnarray*} 0=6(\frac{k}{3}-\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}} )+k \end{eqnarray*}$

alles ausklammern traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{2}{k}+6\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}}+k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{2}{k}-6\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}}+k \end{eqnarray*}$

so nun dritte:

f'''(x_0)=6

also es gehen alles k's zwischen drei und 0 außer null... richtig?

edit : oder geht nur 3??

30.05.2006, 20:48

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn es jetzt zu spät ist, will ich trotzdem noch was dazu sagen smile

smile

Grundsätzlich hast du alles richtig gemacht. Du hast nur kleine Rechenfehler drin.

Zitat:

Original von PG
ok

Nullstellen lauten so:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{k}{3}\pm\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}} \end{eqnarray*}$

das sind die Nullstellen, dann habe ich berechnet, für welches k ich nullstellen bekomme, also einfach den Ausdruck in der Wurzel gleich Null und dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} k_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_2=3 \end{eqnarray*}$
also alle zahlen dazwischen und sie selbst gehen- das ist bestimmt falsch- nun habe ich dein verfahren verstanden

Der Ansatz ist gut. Daran habe ich nicht gedacht. Ich habe bei den gefundenen Nullstellen die Behauptung aufgestellt, dass die Funktion falsch ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings ist deine Folgerung nicht richtig. Der Ausdruck unter der Wurzel ist eine nach oben geöffnete Parabel. Deshalb hast du für alle $\begin{eqnarray*} k\leq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k\geq 3 \end{eqnarray*}$ Nullstellen der ersten Ableitung.

Zitat:

Nun meinst du, dass ich das in der zweiten ableitung einsetzen soll..
und gleich null

$\begin{eqnarray*} 0=6x+k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=6(\frac{k}{3} +\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}} )+k \end{eqnarray*}$

also doch wieder unter der Wurzel, das gleich setzen und dann habe ich die gleichen k's nämlich 0 und 3, wobei nur alle zahlen dazwischen gehen außer null, da keine 0 unter nenner stehen darf und da wir nur positive zahlen nehmen dürfen.

$\begin{eqnarray*} 0=6(\frac{k}{3}-\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}} )+k \end{eqnarray*}$

alles ausklammern traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{2}{k}+6\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}}+k \end{eqnarray*}$

Auch hier der Ansatz vollkommen richtig. Allerdings ein kleiner Fehler beim Ausklammern Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 6\cdot\frac{k}{3}=2k\neq\frac{2}{k} \end{eqnarray*}$

Wenn du die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=3k+6\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}} \end{eqnarray*}$ nach k auflöst, bekommst du $\begin{eqnarray*} k_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2=-\frac{12}{5} \end{eqnarray*}$ .

Für diese beiden k ist die zweite Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=\frac{k}{3}+\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}} \end{eqnarray*}$ also auch Null.

Genau diese beiden Stelllen (also mit k=0 und k=-12/5) setzt du in die 3. Ableitung ein. Wenn dann ein Wert ungleich 0 rauskommt, dann ist für das entsprechende k ein Sattelpunkt. Kommt 0 raus, dann kannst du keine Aussage treffen und musst weitere Untersuchungen machen.

Die ganze Prozedur musst du noch für die zweite Nullstelle der ersten Ableitung $\begin{eqnarray*} x=\frac{k}{3}-\sqrt{\frac{k^2}{9}-\frac{k}{3}} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, es sind keine Tippfehler mehr drin smile

smile

War es heute trotzdem erfolgreich für dich?

30.05.2006, 22:43

Leopold

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Ich habe mir die Beiträge jetzt nicht im Detail durchgelesen. Aber insgesamt scheint mir die ganze Herangehensweise doch recht kompliziert.
Was ist denn ein Sattelpunkt? Das ist doch nichts anderes als ein Wendepunkt mit Steigung 0. Also wird man zunächst mit Hilfe der linearen Funktion $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ den einzigen Wendepunkt berechnen (da $\begin{eqnarray*} f''' \end{eqnarray*}$ konstant ungleich 0 ist, muß ein Wendepunkt vorliegen). Mit dem von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängigen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Wert geht man in die erste Ableitung. Diese muß 0 werden. Man erhält so eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ohne konstantes Glied. Die möglichen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Werte können sofort abgelesen werden: $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k=3 \end{eqnarray*}$ .

31.05.2006, 00:20

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Was ist denn ein Sattelpunkt? Das ist doch nichts anderes als ein Wendepunkt mit Steigung 0.

Stimmt. Auf die einfache Variante bin ich diesmal auch nicht gekommen. Vermutlich war es besser, dass du die Beiträge nicht genau durchgelesen hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mit diesem Ansatz passt die Lösung auf einen kleinen Fresszettel und zeigt, dass ich irgendwo einen Fehler drin habe *grml*

Danke für die Ergänzung/Alternative.

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