Konfidenzintervalle

31.08.2008, 07:52	MagicMarie	Auf diesen Beitrag antworten »
Konfidenzintervalle AUFGABE: In einem Dorf mit 9500 Einwohnern wurden 500 Personen befragt. Davon waren 237 für den Bau einer neuen Turnhalle, die anderen waren dagegen. Diejenigen, die den Bau unterstützten, wären durchschnittlich bereit, 103,48 Euro dafür zu spenden, allerdings mit einer Standardabweichung von 59.66 Euro. Der Bau kann nur in Auftrag gegeben werden, wenn die Spenden auf mehr als 400.000 Euro geschätzt werden. Berechne ein 99% Konfidenzinterval für den Gesamtbetrag, der für den Bau der Turnhalle gespendet werden würde. Entscheide, ob der Bau für die Turnhalle in Auftrag gegeben werden kann. ANMERKUNG: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: noch in keinem, aber ich werde es vermutlich noch tun, weil ich eine dringende Antwort brauche. PROBLEM: Ich habe zu dieser Aufgabe 2 Lösungen vorliegen, eine aus einem Buch, eine von meinem Lehrer. Beide widersprechen sich aber! Da das Konfidenzinterval 99% sein soll, ist z=2.576. Außerdem ist die Größe der unterstützenden Bevölkerung n=4503 und der Erwartungswert der Spenden ungefähr 466 000 Euro. Darin stimmen die Lösungen auch beide überein. Für das Konfidenzinterval machen die Lösungen aber unterschiedlich weiter. Das Buch benutzt die Formel "Erwartungswert plus/minus z mal 19 mal Wurzel(n) mal sigma". Ich nehme an, die 19 kommt von den 500 Leuten, die von den 9500 befragt wurden (denn 19=9500/500). Aber ich verstehe nicht, warum die Gesamtbevölkerung in die Standardabweichung mit eingerechnet werden muss, denn die Nichtspender haben doch keine Varianz, oder? Es haben doch nur die Spender eine Varianz. Jedenfalls kommt das Buch auf ein Interval von (421 000, 511 000), aber mir ist der Rechenweg wie gesagt unklar, weil der Wert für die Standardabweichung auch nicht angegeben ist und ich daher gar nicht weiß, welche Werte überhaupt für die Formel genommen wurden. Naja, mein Lehrer hingegen nimmt die Formel "Erwartungswert plus/minus z mal sigma geteilt durch Wurzel(n)" und kommt somit auf ein Interval von (455 657, 476 283). Er gibt für den Rechenweg allerdings an, dass Sigma=59.66 mal 4503 sei. Das verstehe ich nicht, ich dachte, man darf die Standardabweichung nicht einfach multiplizieren. Ich hätte jetzt die Varianz, also das Quadrat von 59.22, mit 4503 multipliziert und dann erst gewurzelt. Mein Sigma wäre also 59.22 mal WURZEL(4503) gewesen. Ich verstehe also keine der beiden Lösungen, und eine davon muss ja auch falsch sein, weil die Intervalle nicht gleich sind. Ich möchte vor allem mal gerne wissen, welche Formel richtig ist und warum! Beide Lösungen kommen jedenfalls zu dem Schluss, da die Intervalle deutlich über 400 000 Euro liegen, dass die Turnhalle gebaut werden sollte. Das verstehe ich auch. Aber wie gesagt weiß ich nicht, was das richtige Interval ist. Ich müsste das, wenn irgend möglich, aber heute noch erfahren, damit ich es bis morgen verstanden habe... Danke für Eure Hilfe!!!
31.08.2008, 10:05	MagicMarie	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikation jetzt klar Ok, dass ich, wie mein Lehrer meinte, die Standardabweichung einfach multiplizieren kann, ist mir jetzt klar. Aber ich verstehe den Rest immer noch nicht - welche Formel für das Konfidenzintervall ist richtig? Muss ich die 19 überhaupt einrechnen? Welches ist das richtige Ergebnis? Ich brauche DRINGEND Hilfe. Bitte schreib mir zurück. Danke!
31.08.2008, 12:45	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervalle Die Lösung des Lehrers ist eine Näherung, aber als Näherung richtig. Sie ist allerdings etwas verwirrend dargestellt. Der Faktor 19 aus dem Buch ist meiner Meinung nach Unfug. Die Näherung besteht darin, dass angenommen wird, das der Stichprobenumfang 500 groß genug ist, um die Ergebnisse der Stichprobe auf die Gesamtheit zu übertragen. Tatsächlich kann man natürlich nicht davon ausgehen, dass genau 4503 Leute spenden werden. Das können auch ein paar mehr oder weniger sein. Man kann auch nicht davon ausgehen, dass der Mittelwert und die Standardabweichung der erwarteten ca. 4500 Spenden exakt dem Mittelwert und der Standardabweichung aus der Stichprobe entspricht. Aber 500 ist schon eine recht große Stichprobe und die Unsicherheit wird deshalb moderat ausfallen. Trotzdem wäre eine Diskussion des möglichen Fehlers der Näherung angebracht. Das würde die Aufgabe allerdings deutlich komplizieren. Wenn man die Näherung akzeptiert, ist die weitere Lösung wie folgt: Die einzelne Spende gehorcht einer Normalverteilung mit $\begin{eqnarray} \mu(1)=103,48 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma(1)=59,66 \end{eqnarray}$ Dann gehorcht die Summe von n Spenden ebenfalls einer Normalverteilung mit folgendem Mittelwert und Standardabweichung: $\begin{eqnarray} \mu(n)=n\cdot\mu(1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ()\sigma(n)=\sqrt{n}\cdot\sigma(1) \end{eqnarray}$ Dahin gelangt der Lehrer auch, wenn auch auf etwas merkwürdige Weise. Die letzte Formel ergibt sich aus folgendem Satz: Seien die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_1 und X_2 \end{eqnarray}$ normalverteilt mit Standardabweichungen $\begin{eqnarray} \sigma_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma_2 \end{eqnarray}$ . Dann ist die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X = X_1 + X_2 \end{eqnarray}$ normalverteilt mit Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma(X)=\sqrt{\sigma_{1}^2+\sigma_{2}^2}\ \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} \sigma_1=\sigma_2=\sigma \end{eqnarray}$ ist, ergibt das: $\begin{eqnarray} \sigma(X)=\sqrt{2}\cdot\sigma\ \end{eqnarray}$ Und bei einer Summe von n Zufallsgrößen mit gleicher Standardabweichung ergibt das die genannte Formel (). Anzumerken ist noch, dass danach ein zweiseitiges Konfidenzintervall bestimmt wurde. Gesucht wird jedoch eigentlich ein einseitiges. Die Sicherheit, dass die Spendensumme höher als die Untergrenze des berechneten Intervalls ist, ist 99,5 %. Das kompensiert ganz oder teilweise die Unsicherheiten durch die gemachten Näherungen.
31.08.2008, 12:51	MagicMarie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Huggy, noch mal zur Vergewisserung: Habe ich jetzt recht oder der Lehrer? ICH meinte ja zunächst, man müsse die WURZEL von n mit Sigma multiplizieren, um die gesamte Standardabweichung zu erhalten. Der Lehrer hat aber direkt n mit Sigma multipliziert. Dem was Du sagst entnehme ich, dass ich richtig lag. Wie lautet dann Dein komplettes Konfidenzintervall? Der Lehrer kann doch gar nicht richtig liegen, oder? Aber das Buch auch nicht, denn der Faktor 19 macht für mich überhaupt keinen Sinn. Danke auf jeden Fall schon mal für Deine Hilfe!!! Liebe Grüße, Marie
31.08.2008, 13:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich deinen Ausgangstext richtig verstehe, kommen der Lehrer und du doch auf dasselbe Ergebnis. Du hast: $\begin{eqnarray} \sigma=\sqrt{4503}\cdot59,66=4003 \end{eqnarray}$ Der Lehrer sagt erst: $\begin{eqnarray} \sigma=4503\cdot59,66=268649 \end{eqnarray}$ Dann teilt er aber noch mal durch $\begin{eqnarray} \sqrt{4503} \end{eqnarray}$ . Und damit ist er dann effektiv auch wieder bei 4003. Das Konfidenzintervall ist: $\begin{eqnarray} 4503\cdot 103,48\pm z\cdot4003= 465970\pm 10313= [455657,476283] \end{eqnarray}$ Das ist genau das, was der Lehrer angegeben hat und was bei dir herauskommen sollte. Der korrekte Weg, dort hinzukommen, ist aber meine Formel (*). Bin jetzt erst mal einige Zeit nicht am Rechner.

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