Zinseszins

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29.05.2006, 18:01	Sunny16	Auf diesen Beitrag antworten »
Zinseszins Brauche unbedingt Hilfe bei einer Aufgabe Und zwar soll ich diese Aufgabe lösen: Eine Kunde zahlt monatlich einen Beitrag in Höhe von 100 Euro in einem Zeitraum von 15 Jahren. Welcher Betrag ergibt sich nach Ablauf der 15 Jahre, wenn mit einer Verzinsung von 5% gerechnet werden kann!? Ich kenne die Formel nicht, also habe ich jeden Beitrag für jedes Jahr einzelnt gerechnet. Das geht doch aber auch einfacher oder?
29.05.2006, 18:15	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
müll bitte löschen danke [edit] @ sunny ich hatte müll geschrieben. den beitrag soll jmd. löschen nicht deinen!
29.05.2006, 18:19	Sunny16	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso denn das?
29.05.2006, 18:28	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde: $\begin{eqnarray} Geld=1200\sum_{k=1}^{15}~1,05^k \end{eqnarray*}$ verwenden, da ja jeder Betrag einmal seltener verzinst wird, als der zuvor, aber es gibt bestimmt ne schönere plausiblere Formel.
29.05.2006, 18:33	Sunny16	Auf diesen Beitrag antworten »
Ui, ähm, wie rechne ich denn das nun genau aus.. kannst du mit bitte mal den Rechenweg aufschreiben. Bitte, bin am Verzweifeln...
29.05.2006, 18:42	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja eben fast genauso wie du! $\begin{eqnarray} 1200(1,05^1+1,05^2+1,05^3+1,05^4+1,05^5......+1,05^{14}+1,05^{15}) \end{eqnarray*}$ Es ist wirklich das gleiche, wie du es gemacht hast, nur dass ich eben nen bisschen länger für meine "Formel" überlegen musste als du. Arbeit ersparts mir nicht. Innner arbeit hätt ichs also genauso gemacht wie du. Aber verlier die Hoffnung nicht. Vielleicht hat jemand noch ne andere schöne Form.
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29.05.2006, 18:45	Sunny16	Auf diesen Beitrag antworten »
1200(1,05^1+1,05^2+1,05^3+1,05^4+1,05^5......+1,05^{14}+1,05^{15}) kann ich nicht auch einfach rechnen: 1200 (1,05^15!) also mit Fakultät?
29.05.2006, 18:46	Sunny16	Auf diesen Beitrag antworten »
konnte keinen hochzahlen schreiben, aber ich hoffe du weißt was ich meine
29.05.2006, 18:52	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du 1200(1,05^15)! meinst, dann nicht, denn Fakultäten sind nur für Natürliche Zahlen und 0 zu berechnen meinst du allerdings 1200(1,05^(15!)) dann solltest du dir die Definnition für Fakultät noch einmal ankucken. Denn $\begin{eqnarray} 1200(1,05^{15!})=1200(1,05^11,05^2.....1,05^{15}) \end{eqnarray}$
29.05.2006, 18:53	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
29.05.2006, 19:03	Asnnah	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann die geometrische Reihe auch explizit berechnen mit: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{15}~1,05^k = 21 (1,05^{15}-1) \end{eqnarray*}$
29.05.2006, 19:06	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir mal das hier an, sunny. Ausserdem muss noch die unterjährige Verzinsung berücksichtigt werden (monatliche Zahlung). Gruß vom Ben
29.05.2006, 19:07	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
aha, toll Aber: wie kommt man darauf? [Edit] zu spät: danke ben^^
29.05.2006, 19:32	Sunny16	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Danke für die schnelle Hilfe... aber leider kann ich damit kaum was anfangen... bin echt ne Niete. Also ich hab jetzt rund 20 000 Euro raus. Oh man, ich verweifeln gleich.
29.05.2006, 20:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten löst du solche Aufgaben, indem du nach folgendem Schema vorgehst: - Aufstellen einer Zeitlinie - Eintragen aller Zeiten und Beträge - Wahl des Zeit-Bezugspunktes - Summierung der Reihen In deinem Fall also eine Zeitlinie mit 15 Jahren, am Anfang eines jeden Jahres die Jahresrate r (die sich aus den 12 vorschüssigen monatlichen Zahlungen a = 100 ergibt), Zeit-Bezugspunkt am Ende des 15. Jahres, dort liegt auch der Ertrag (Endwert der Rente) E. Alle Beträge, die VOR dem Zeit-Bezugspunkt liegen, werden mit den entsprechenden Potenzen des Aufzinsungsfaktors multipliziert, die Beträge, die NACH diesem liegen, analog dividiert. Beachte, dass du innerhalb des Jahres, also für die Monatsraten - mit dem äquivalenten Zinssatz rechnen musst. Dabei wird - wenn es im Jahr n Verzinsungsperioden gibt - der Aufzinsungsfaktor für die jeweilige (unterjährige) Zinsperiode als die n-te Wurzel aus dem jährlichen Aufzinsungsfaktor errechnet. In deinem Fall: p = 5% q = 1,05 (Jahr) $\begin{eqnarray} q_{12} = ^{12} \sqrt {1 + \frac{p}{100}} = ^{12} \sqrt {1,05} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{12} \end{eqnarray}$ ist der Aufzinsungsfaktor im Monat. Somit setzt sich r aus 12 Zahlungen (a) wie folgt zusammen: $\begin{eqnarray} r = aq_{12} + aq_{12}^2 + ... + aq_{12}^{12} \end{eqnarray}$ ( -> als geometr. R. zu summieren) r ist der Endwert der 12 monatlichen Raten. Mit den 15 jährlichen Raten r verfährst du nun ebenso, dabei wird nun q = 1,05 verwendet. Bemerkung: Es ist natürlich auch möglich (und wahrscheinlich auch einfacher), gleich nur mit den Monatsraten zu rechnen, d.h. der Endwert der Rente ergibt sich aus 180 Monatsraten a (=100), die mit dem äquivalenten Aufzinsungsfaktor $\begin{eqnarray} q_{12} \end{eqnarray}$ zu verrechnen sind. $\begin{eqnarray} E = aq_{12} + aq_{12}^2 + ... + aq_{12}^{180} \end{eqnarray}$ Beide Varianten zeitigen natürlich das gleiche Ergebnis. Gr mYthos

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