Metrik

29.05.2006, 18:26	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik Hallo Leute, ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} d(x,y) = \frac{\|x-y\|}{1+\|x-y\|} \end{eqnarray}$ eine Metrik ist. Kann mir jemand erklären, wie ich die Dreiecksungleichung, also $\begin{eqnarray} d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) \end{eqnarray}$ beweisen soll? Mir fehlt da einfach der gescheite Ansatz.
29.05.2006, 18:44	Asnnah	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metrik Hey Paul_H, schreib die Dreiecksungleichung bezüglich deiner Metrik doch mal auf. Dann würde ich auf beiden Seiten mit dem Nenner multiplizieren, um eine "Bruchfreiezone" zu schaffen und dann bedarf es nur noch an ein paar Umformungen, sodass du am Ende auf eine wahre Aussage A >= 0 stößt.
29.05.2006, 20:04	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war natürlich auch mein erster Gedanke. Aber so einfach komme ich nicht auf eine solche Aussage. Nach vielem Umformen komme ich nämlich auf folgendes: $\begin{eqnarray} \|x-z\|+\|x-z\|\|x-y\|^{2}\|y-z\| \le \|x-y\|+\|y-z\|+\|x-y\|\|x-z\|^{2}\|y-z\|+\|y-z\|\|x-z\|^{2}\|x-y\| \end{eqnarray}$ . Gott bewahre, ob das so wirklich korrekt ist, aber selbst wenn nicht, das Problem, zu zeigen, dass der Abstand zwischen x und z kürzer ist als die Summe der Abstände von x und y bzw. y und z bleibt in jedem Fall bestehen und lässt sich auf diese Art und Weise nicht eliminieren.
29.05.2006, 21:17	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
es geht auch durch direktes abschätzen - sehr schön sogar... - also nicht ausmultiplizieren... was du brauchst ist die Dreiecksungleichung für den Betrag - die gilt ja auf jeden Fall und den Trick, dass $\begin{eqnarray} \| x- z\| = \|(x-y) + (y-z)\| \end{eqnarray}$ - der übrigens sehr oft gebraucht wird
29.05.2006, 22:18	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, das hört sich doch ganz gut an. Dann kriege ich folgendes raus: $\begin{eqnarray} ...= \frac{\|(x-y)+(y-z)\|}{1+\|(x-y)+(y-z)\|} \le \frac{\|x-y\|}{1+\|(x-y)+(y-z)\|} + \frac{\|y-z\|}{1+\|(x-y)+(y-z)\|} \end{eqnarray}$ Das hört sich doch ganz gut an, danke für den Trick, den werd' ich sicher noch öfter brauchen. Aber wie's jetzt im Nenner weiter geht, weiss ich auch nicht. Is da vielleicht nochn kleiner Tipp drin?
29.05.2006, 23:34	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, wo du jetzt bist kommst du nicht wirklich weiter - du hast dich quasi schon überschätzt g... du musst in einem Zug den Zähler und den Nenner mit der Dreiecksgleichung abschätzen und natürlich auch begründen warum das so geht... und dann siehst du wahrscheinlich selbst wie es weitergeht
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30.05.2006, 18:58	mercany	Auf diesen Beitrag antworten »
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