Übung zur vollständigen Induktion

31.08.2008, 10:42

kerrl

Übung zur vollständigen Induktion

Hallo!
Ich möchte die Anwendung der vollständigen Induktion erlernen und bin auf folgende Aufgabe gestoßen:

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass $\begin{eqnarray*} n(n^{4}-1) \end{eqnarray*}$ für alle n€N durch 5 teilbar ist.

Meine Idee ist, für jedes n ein (n+1) zu schreiben, also:
$\begin{eqnarray*} (n+1)[(n+1)^{4}-1] \end{eqnarray*}$

Damit komme ich aber nicht zum Beweis der Teilbarkeit.
Ist dieser Ansatz überhaupt richtig oder ist mir da ein Rechenfehler unterlaufen?

Danke für Hilfe
Gruß

31.08.2008, 11:30

Asics

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst solltest du nach einer induktiven Logik vorgehen, also erst einmal die Behauptung für ein n€Na bestätigen und erst dann den Induktionsschritt/schluss vornehmen.

31.08.2008, 11:55

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dir raten die Vermutung für n=1 zu beweisen, dann die Induktionsvoraussetzung zu formulieren und dann im Induktionsschluss mit n=n+1 zeigen, dass alle dann vorhandenen Terme durch 5 teilbar sind, dabei empfiehlt es sich die Induktionsvoraussetzung zu benutzen.

31.08.2008, 12:59

ajax2leet

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde den Term anders schreiben.
Mit $\begin{eqnarray*} A(n) = n^5 - n \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} A(n+1) = (n+1)^5 - (n+1) \end{eqnarray*}$ geht es schnell Augenzwinkern

31.08.2008, 13:12

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Übung zur vollständigen Induktion
1) $\begin{eqnarray*} \quad{ } n=1\to 5|0 \end{eqnarray*}$
2) die behauptung gelte für $\begin{eqnarray*} n = k \end{eqnarray*}$
3) multipliziere einfach aus und fasse zusammen
$\begin{eqnarray*} (k+1)((k+1)^4-1)=k(k^4-1)+5(k^4+......) \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 13:19

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ajax2leet
Ich würde den Term anders schreiben.

Nunja, ich halte beide Varianten für in etwa gleich aufwendig im Induktionsschluss, hier kann man es sicherlich machen, wie man will Augenzwinkern

31.08.2008, 13:29

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch $\begin{eqnarray*} n(n^4-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1) \end{eqnarray*}$ schreiben und es ohne Induktion machen. Wenn keiner der ersten 3 Faktoren durch 5 teilbar ist, gilt $\begin{eqnarray*} n = 5m+2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=5m+3 \end{eqnarray*}$ . Dann ist der vierte Faktor durch 5 teilbar.

31.08.2008, 23:07

kerrl

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die vielen Antworten! smile

Meinem Verständnis zuliebe will ich das systematischer angehen, wie es Asics empfohl, also mal gaanz langsam und Schritt für Schritt:
Für n=1 ist $\begin{eqnarray*} n(n^{4}-1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1(1^{4}-1)=0 \end{eqnarray*}$
Für n=2 wirds $\begin{eqnarray*} 2(2^{4}-1)=30 \end{eqnarray*}$
Für n=3 wirds $\begin{eqnarray*} 3(3^{4}-1)=240 \end{eqnarray*}$
Für n=4 wirds $\begin{eqnarray*} 4(4^{4}-1)=1020 \end{eqnarray*}$

Bei all diesen Werten für n ist der Wert des Terms durch 5 glatt teilbar (außer für 1, denn 0/5=0).
Die Annahme ist, dass $\begin{eqnarray*} n(n^{4}-1) \end{eqnarray*}$ für jedes n, das ein Element der natürlichen Zahlen ist, durch 5 teilbar ist.

Induktionsanfang: Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ wird bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} A(2) \end{eqnarray*}$ gilt (d.h. $\begin{eqnarray*} A(2) \end{eqnarray*}$ ist wahr)

Induktionsannahme: Für alle $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung: Für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} A(n+1)=(n+1)[(n+1)^{4}-1)] \end{eqnarray*}$

Induktionsbeweis: $\begin{eqnarray*} A(n+1)=(n+1)[(n+1)^{4}-1)] \end{eqnarray*}$
Wie beweist man da die Teilbarkeit? Wenn ich das ausmultipliziere, ist nicht alles durch 5 teilbar, vorrausgesetzt ich habe mich nicht verrechnet.

Wie kann ich den Fall lösen?
Gruß

31.08.2008, 23:22

ajax2leet

Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst am Anfang einen kleinen Fehler.
Per Definition ist 0 durch jede Zahl teilbar. ( http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit )
D.h. du kannst schon mit A(1) anfangen.

Schau mal in diesen Thread : Fragen zu [Workshop]-[Vollständige Induktion]

Da habe ich ein Beispiel gegeben, bei dem es ähnlich abläuft.
Generell kann man sagen, dass eine Binom n-ten Grades durch n teilbar ist.

Helfen kann da auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel und http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

31.08.2008, 23:28

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kerrl
Induktionsannahme: Für alle $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$

Denk da nochmal drüber nach...

31.08.2008, 23:32

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kerrl
Vielen Dank für die vielen Antworten! smile

liest du die beiträge nicht verwirrt

steht doch oben, einfach ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} (n+1)((n+1)^4-1)=n(n^4-1)+5(n^4+2n^3+2n^2+n) \end{eqnarray*}$

der 1.term rechts ist laut induktionsvoraussetzunmg durch 5 teilbar, der 2. vermutlich auch.

01.09.2008, 17:54

kerrl

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar les ich die Beiträge, aber ich wollt es zum Einen für mich selbst systematisch machen und zum Anderen ist es sicherlich sinnvoll das zu posten, um dran anzuknüpfen, falls es richtig ist. Die Systematik ist für mich wichtig: ich beschäftige mich zum ersten mal mit dem Thema und will den Überblick behalten.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (n+1)((n+1)^4-1)=n(n^4-1)+5(n^4+2n^3+2n^2+n) \end{eqnarray*}$

Der rechte Teil, also das $\begin{eqnarray*} 5(n^4+2n^3+2n^2+n) \end{eqnarray*}$ ist sicherlich durch 5 teilbar.
Aber für den linken Teil will ichs doch grade beweisen

01.09.2008, 21:49

kerrl

Auf diesen Beitrag antworten »

Sonst würde ich ja vorraussetzen, dass n(n^4-1) für jedes n durch 5 teilbar ist, dabei will ich das ja erst induktiv beweisen!
Das ist das erste Mal, dass ich eine vollständige Induktion mache, stehe dabei noch etwas aufm schlauch.

01.09.2008, 21:52

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kerrl
Sonst würde ich ja vorraussetzen, dass n(n^4-1) für jedes n durch 5 teilbar ist, dabei will ich das ja erst induktiv beweisen!
Das ist das erste Mal, dass ich eine vollständige Induktion mache, stehe dabei noch etwas aufm schlauch.

das gilt ja genau nach induktionsvoraussetzung verwirrt

01.09.2008, 22:00

kerrl

Auf diesen Beitrag antworten »

Also beweist man mit vollständiger Induktion nur, dass es für (n+1) gilt, unter der Vorraussetzung dass es überhaupt für n gilt? Die Induktionsvorraussetzung heisst doch auch InduktionsANNAHME.

01.09.2008, 22:37

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kerrl
Also beweist man mit vollständiger Induktion nur, dass es für (n+1) gilt, unter der Vorraussetzung dass es überhaupt für n gilt?

Genau das ist ja das Prinzip der vollständigen Induktion.

Zitat:

Original von kerrl
Die Induktionsvorraussetzung heisst doch auch InduktionsANNAHME.

Richtig. Es ist das gleiche. Und sie besteht darin, anzunehmen, dass A(n) für irgendein n gilt. Unter dieser Voraussetzung (bzw. Annahme) zeigt man dann, dass A(n+1) gilt.

01.09.2008, 22:46

kerrl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Unter dieser Voraussetzung (bzw. Annahme) zeigt man dann, dass A(n+1) gilt.

und somit für alle n...

alles klar, danke!
bis bald ;-)

27.01.2010, 09:28

mathefreund

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Übung zur vollständigen Induktion
Aufgabe :
5 teilt n(n hoch4 - 1) für alle n aus N
1. Nachweis für n=1 5 teilt 0 trivial

2. Induktionsannahme: 5 | N für N Element N > 1

3. Induktionsbehauptung 5 | (N+1) [(N+1) hoch 4 -1]

Beweis:
(N+1) [N hoch 4 + 4 N³ + 6 N² + 4 N + 1 - 1]

= N hoch 5 + 4 N hoch 4 + 6 N³ + 4 N² + N hoch 4 + 4 N³ + 6 N² + 4 N =
= N (N hoch 4 5 5 N³ + 10 N² + 10 N + 4) =
= N (N hoch 4 + 5 N³ + 10 N² + 10 N + 5 - 1) =
= N (N hoch 4 - 1) + 5N (N³ + 2 N² + 2 N + 1)
nun sind wir schon fertig, denn 5 | N (N hoch 4 - 1) nach Induktionsannahme
und der 2. Summand ist ebenfalls durch 5 teilbar.
Somit ist die Induktionsbehauptung bewiesen.

q.e.d.

Neue Frage »

Antworten »

Übung zur vollständigen Induktion

Verwandte Themen