Extremwertaufgabe -> Ansatz!?

31.08.2008, 11:36

DKNY

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Extremwertaufgabe -> Ansatz!?

Erstmal Hallo, ich bin neu hier! Wink

Wink

Was mich hergetrieben hat, ist eine Aufgabe aus einem 12er Mathe-LK.
Ich habe mal eine Skizze in den Anhang gesetzt, die das Problem verdeutlicht.

Es geht halt darum, die größt mögliche Größe eines Containers zu finden, der in solch ein Flugzeugbacuh geschoben werden kann.
Durchmesser ist des Flugzeugbauches ist 10.
Müsste ich dort nun einfach ein Container reinschieben wäre das ganze einfacher, aber der Container steht auf einem Boden, der 8 breit ist. (ich weiß nicht ob das mit dem Boden so verständlich ist, deshalb habe ich eine Skizze angefertigt.)

Ich finde einfach keinen Ansatz dafür.
Wenn ich etwas hätte, würde ich wohl mit Ableiten und 0 setzen selbst weiterkommen.
Ich weiß aber nicht wie ich den Boden in die Gleichung reinbekomme unglücklich

unglücklich

Über Hilfe wäre ich sehr erfreut Freude

Freude

31.08.2008, 11:49

riwe

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RE: Extremwertaufgabe -> Ansatz!?
nenne die höhe des containers h, seine breite b, und r den radius des kreises,
dann hast du für die querschnittsfläche A des containers:

$\begin{eqnarray*} A=h\cdot b\to max\quad{ }\text{mit}\quad{ }(h-3)^2+(\frac{b}{2})^2=r^2 \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 13:01

DKNY

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Danke schonmal! Freude

Freude

Aber was steckt dahinter?
Ich will nicht nur die Lösung des Problems wissen, sondern es auch verstehen.
Wie kommt man auf den Ansatz?

Aber schonmal vielen Dank!

31.08.2008, 14:38

riwe

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darum.
ok verwirrt

verwirrt

31.08.2008, 15:14

DKNY

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Aaaaaaah Ok.
Vielen Dank! Gott

Gott

Das habe ich jetzt verstanden.

Nun b durch h ausdrücken

$\begin{eqnarray*} b=2*(25-(h-3)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (h-3)^2+(\frac{2*(25-(h-3))}{2})^2 =25 \end{eqnarray*}$

Dann Nullsetzen und ableiten?
Oder ist schon ein Fehler drin?

31.08.2008, 15:38

DKNY

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wo b durch h ausgedrückt wird soll die 25 je eine 5 sein. lässt sich nichtmehr editieren.

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31.08.2008, 15:39

riwe

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Zitat:

Original von DKNY
Aaaaaaah Ok.
Vielen Dank! Gott

Gott

Das habe ich jetzt verstanden.

Nun b durch h ausdrücken

$\begin{eqnarray*} b=2*(25-(h-3)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (h-3)^2+(\frac{2*(25-(h-3))}{2})^2 =25 \end{eqnarray*}$

Dann Nullsetzen und ableiten?
Oder ist schon ein Fehler drin?

naja, nicht ganz so glanzvoll ist es nicht, aber das prinzip Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} b=2\sqrt{r^2-(h-3)^2} \end{eqnarray*}$

du kannst es dir einfacher machen und mit den quadraten arbeiten

$\begin{eqnarray*} f(h)=h^2(r^2-(h-3)^2)\to max \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 15:50

DKNY

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Wie komm ich denn da jetzt auf $\begin{eqnarray*} f(h) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Das b scheint in $\begin{eqnarray*} \frac{b}{2}^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt sein. Woher/Wieso das $\begin{eqnarray*} *h^2 \end{eqnarray*}$ ?

Danke, und sorry, dass ich so auf dem Schlauch stehe Ups

Ups

31.08.2008, 18:55

riwe

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Zitat:

Original von DKNY
Wie komm ich denn da jetzt auf $\begin{eqnarray*} f(h) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Das b scheint in $\begin{eqnarray*} \frac{b}{2}^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt sein. Woher/Wieso das $\begin{eqnarray*} *h^2 \end{eqnarray*}$ ?

Danke, und sorry, dass ich so auf dem Schlauch stehe Ups

Ups

steht doch oben:
du kannst das extremum der quadrierten funktion verwenden.
$\begin{eqnarray*} A=b\cdot h\to A^2=b^2\cdot h^2 \to f(h)=h^2(r^2-(h-3)^2) \end{eqnarray*}$

diese funktion hat die extrema an denselben stellen und du ersparst dir die ableitung von wurzelausdrücken.
das mußt du aber nicht tun.

31.08.2008, 20:58

DKNY

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Vielen Dank für die Hilfe und die Geduld! Danke!

31.08.2008, 21:22

DKNY

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Wenn wir schon dabei sind, kann ich ja direkt fragen ob ich richtig abgeleitet hab Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} f(h)=h^2(r^2-(h-3)^2) \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} f'(h)=h^2(2r-h+6)+(r^2-(h-3)^2)*2h \end{eqnarray*}$

Nach der Produktregel beim Ableiten.....

Stimmt das so?

31.08.2008, 21:36

Jacques

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Leider nicht. Beachte, dass r bei der Ableitung eine feste Zahl ist. Hierauf wird also nicht die Potenzregel angewandt!

Außerdem musst Du

$\begin{eqnarray*} (h - 3)^2 \end{eqnarray*}$ entweder zuerst nach der zweiten binomischen Formel auflösen oder direkt über die Kettenregel ableiten.

31.08.2008, 21:43

DKNY

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mist.....übersehen......

Sollte dann
$\begin{eqnarray*} h^2(2r-(2h-6))+2h(r^2-h^2+6h-9) \end{eqnarray*}$
sein..... nun richtig?
bin jetzt über die binomische Formel gegangen.

31.08.2008, 21:48

Jacques

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Wie schon gesagt: r ist ein fester (!) Parameter, keine Funktionsvariable!

Beim Ableiten wird also der Summand $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} 2r \end{eqnarray*}$ , sondern zu 0.

31.08.2008, 21:53

DKNY

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Oh mein Gott, sorry. Ich lese es und mache den selben Fehler erneut.....

$\begin{eqnarray*} f'(h)=h^2(-2h+6)+2h(r^2-h^2+6h-9) \end{eqnarray*}$

so sollte es nun richtig sein.
Zumindest habe ich den selben Fehler nicht erneut begangen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Stimmt es so?

31.08.2008, 21:54

Jacques

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Jetzt ist es richtig. Freude

Freude

31.08.2008, 22:17

DKNY

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ok, vielen dank, mit eurer Hilfe habe ich es letztenendes doch geschafft, danke ! Gott

Gott

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