Identitätssatz Laurentreihen

31.08.2008, 13:44

Berny

Identitätssatz Laurentreihen

Hallo.
In meinem Skript steht

Stellen $\begin{eqnarray*} P(z) = \sum^\infty_{n=-\infty} a_n(z-a)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q(z) = \sum^\infty_{n=-\infty} b_n(z-a)^n \end{eqnarray*}$ auf einem nichtleeren Kreisring die gleiche Funktion f da, so ist $\begin{eqnarray*} a_n = b_n \end{eqnarray*}$ für alle n (n ist eine ganze Zahl)
Dies geht durch Integration von
$\begin{eqnarray*} (z-a)^{-n-1}P(z) = (z-a)^{-n-1} Q(z) \end{eqnarray*}$ über einen passenden Kreis K(R,a) hervor.
Ob ich das jetzt hinbekommen habe, das zu zeigen, ist aber fragwürdig

$\begin{eqnarray*} \int_{K(r,a)}(z-a)^{-n-1}P(z) dz = \int_{K(r,a)} (z-a)^{-n-1} Q(z) dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{K(r,a)}(z-a)^{-n-1}\sum^\infty_{n=-\infty} a_n(z-a)^n dz = \int_{K(r,a)} (z-a)^{-n-1} \sum^\infty_{n=-\infty} b_n(z-a)^n dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{K(r,a)}\sum^\infty_{n=-\infty} a_n(z-a)^n*(z-a)^{-n-1} dz = \int_{K(r,a)} \sum^\infty_{n=-\infty} b_n(z-a)^n*(z-a)^{n-1} dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{K(r,a)}\sum^\infty_{n=-\infty} a_n(z-a)^{-1} dz = \int_{K(r,a)} \sum^\infty_{n=-\infty} b_n(z-a)^{-1} dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=-\infty}\int_{K(r,a)} a_n(z-a)^{-1} dz = \sum^\infty_{n=-\infty}\int_{K(r,a)} b_n(z-a)^{-1} dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (z-a)^{-1}\sum^\infty_{n=-\infty}\int_{K(r,a)} a_n \ dz = (z-a)^{-1} \sum^\infty_{n=-\infty}\int_{K(r,a)} b_n \ dz \end{eqnarray*}$

Und was mache ich jetzt? Das (z-a)^{-1} darf ich nicht wegkürzen, oder doch?
Falls doch, hätte ich aber immer noch

$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{n=-\infty}\int_{K(r,a)} a_n \ dz =\sum^\infty_{n=-\infty}\int_{K(r,a)} b_n \ dz \end{eqnarray*}$

Ich komme da leider nicht auf die Behauptung, oder ich kann sie nicht folgern.
Könnt ihr mir bitte helfen?

Viele Grüße,
Berny

31.08.2008, 17:25

Estor

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RE: Identitätssatz Laurentreihen
also das n im Exponent (-n-1) von (z-a) ist nicht dasselbe n wie der summationsindex! Der Summationsindex läuft von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Der Exponent vom dranmultiplizierten (z-a) ist fest gewählt! Diese Tatsache ist vielleicht etwas ungeschickt dargestellt. Also wäre es besser, diesen mit k zu beschriften, oder so.
Dann wäre es folgendermassen:
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{P(z)}{(z-a)^{k+1}} dz = \int_{\gamma} \frac{Q(z)}{(z-a)^{k+1}} dz \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \gamma: [0,2\pi] \rightarrow B_{r}(a), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = a + \rho e^{it} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rho < r \end{eqnarray*}$ und r ist der Radius der Kreisscheibe, auf welcher P und Q definiert sind.

jetzt: Cauchyscher Integralsatz für den Kreis - den kennst du?

Grüsse und bei Fragen fragen :-)
estor

31.08.2008, 20:41

Berny

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RE: Identitätssatz Laurentreihen
Hi

Zitat:

Original von Estor
also das n im Exponent (-n-1) von (z-a) ist nicht dasselbe n wie der summationsindex!

Jetzt sehe ich es auch.

Zitat:

Original von Estor
Der Summationsindex läuft von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Der Exponent vom dranmultiplizierten (z-a) ist fest gewählt! Diese Tatsache ist vielleicht etwas ungeschickt dargestellt. Also wäre es besser, diesen mit k zu beschriften, oder so.
Dann wäre es folgendermassen:
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{P(z)}{(z-a)^{k+1}} dz = \int_{\gamma} \frac{Q(z)}{(z-a)^{k+1}} dz \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \gamma: [0,2\pi] \rightarrow B_{r}(a), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = a + \rho e^{it} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rho < r \end{eqnarray*}$ und r ist der Radius der Kreisscheibe, auf welcher P und Q definiert sind.

jetzt: Cauchyscher Integralsatz für den Kreis - den kennst du?

Bei dem Cauchyschen Integralsatz für den Kreis gilt doch

$\begin{eqnarray*} f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2\pi *i} \int_\gamma \frac{f(t)}{(t-z)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Dann gilt für
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{P(z)}{(z-a)^{k+1}} dz = \int_{\gamma} \frac{Q(z)}{(z-a)^{k+1}} dz \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{2\pi*i f^{(n)}(z)}{n!} = \frac{2\pi*i f^{(n)}(z)}{n!} \end{eqnarray*}$

War das jetzt wirklich so einfach, denn normalerweise wenn ich so etwas versuche, klappt das nämlich nicht.

Kannst du mir da noch einmal weiterhelfen?

Grüße,
Berny

31.08.2008, 20:57

WebFritzi

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RE: Identitätssatz Laurentreihen

Zitat:

Original von Estor
r ist der Radius der Kreisscheibe, auf welcher P und Q definiert sind.

P und Q sind nicht auf einer Kreisscheibe definiert. Ich weiß auch nicht, was hier der Cauchysche Integralsatz helfen soll...

31.08.2008, 21:53

Estor

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RE: Identitätssatz Laurentreihen
ach ja, P und Q sind auf einem Kreisring gleich. (vergesst deshalb cauchy für kreis). Also sei dieser Kreisring:
$\begin{eqnarray*} B_{\rho , R} (a) = \{ z \in C : \rho < |z-a| < R \} \end{eqnarray*}$
Dann gilt dort (mit der Voraussetzung):
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{P(z)}{(z-a)^{k+1}} dz = \int_{\gamma} \frac{Q(z)}{(z-a)^{k+1}} dz \end{eqnarray*}$ , für k aus Z.
$\begin{eqnarray*} \gamma: [0.2\pi] \rightarrow B_{\rho,R}(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = a + re^{it} , \rho < r < R \end{eqnarray*}$
Ich schreibe aus:
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n} (z-a)^{n-k-1} dz = \int_{\gamma} \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_{n} (z-a)^{n-k-1} dz \end{eqnarray*}$ .
Der Haupt- und Nebenteil der Laurentreihen konvergieren gleichmässig auf dem Kreisring. Deshalb darf (Analysis 1) die Integration und die summation vertauscht werden.
Die linke Seite wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ a_{n} \int_{\gamma} (z-a)^{n-k-1} dz \right] \end{eqnarray*}$ .
Nun sind für fast alle n diese Integrale gleich 0 (wieso?). Was bleibt?
Das selbe für rechte Seite machen.

grüsse

01.09.2008, 17:01

Berny

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RE: Identitätssatz Laurentreihen

Zitat:

Original von Estor
ach ja, P und Q sind auf einem Kreisring gleich. (vergesst deshalb cauchy für kreis). Also sei dieser Kreisring:
$\begin{eqnarray*} B_{\rho , R} (a) = \{ z \in C : \rho < |z-a| < R \} \end{eqnarray*}$
Dann gilt dort (mit der Voraussetzung):
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{P(z)}{(z-a)^{k+1}} dz = \int_{\gamma} \frac{Q(z)}{(z-a)^{k+1}} dz \end{eqnarray*}$ , für k aus Z.
$\begin{eqnarray*} \gamma: [0.2\pi] \rightarrow B_{\rho,R}(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = a + re^{it} , \rho < r < R \end{eqnarray*}$
Ich schreibe aus:
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n} (z-a)^{n-k-1} dz = \int_{\gamma} \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_{n} (z-a)^{n-k-1} dz \end{eqnarray*}$ .
Der Haupt- und Nebenteil der Laurentreihen konvergieren gleichmässig auf dem Kreisring. Deshalb darf (Analysis 1) die Integration und die summation vertauscht werden.
Die linke Seite wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ a_{n} \int_{\gamma} (z-a)^{n-k-1} dz \right] \end{eqnarray*}$ .

Ich denke, alle Integrale sind gleich Null, außer der Fall n=k-1
Dann bleibt insgesamt

$\begin{eqnarray*} a_{k-1} = b_{k-1} \end{eqnarray*}$

Aber das ist nur eine Vermutung.
Ich habe leider keine Ahnung, warum die Integrale alle gleich Null sein sollen. Ich vermute als Hintergrund den Cauchyschen Integralsatz für Kreisringe, aber hier sehe ich leider die Anwendung nicht.

01.09.2008, 18:11

WebFritzi

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RE: Identitätssatz Laurentreihen

Zitat:

Original von Berny
Ich denke, alle Integrale sind gleich Null, außer der Fall n=k-1

Nein. Alle außer n = k. Denn alle anderen Integranden haben eine Stammfunktion.

02.09.2008, 13:18

Berny

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RE: Identitätssatz Laurentreihen

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Berny
Ich denke, alle Integrale sind gleich Null, außer der Fall n=k-1

Nein. Alle außer n = k.

Echt für n= k ? Dann integriert man doch aber über $\begin{eqnarray*} (z-a)^{k-k-1} = (z-a)^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von WebFritzi
Denn alle anderen Integranden haben eine Stammfunktion.

Also die Laurentreihe ist ja erst einmal holomorph. Und stetig. Also existiert auch das Integral.
Dass $\begin{eqnarray*} \int_\gamma f(z) dz = 0 \end{eqnarray*}$ für alle geschlossenen Wege $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist ja nach Cauchy so

Und jetzt liefert mir also der Fall $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \frac{dz}{(z-a)} \end{eqnarray*}$ die Behauptung

Es ist doch
$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \frac{dz}{(z-a)} = 2\pi i \end{eqnarray*}$

Damit ist also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ a_{n} \int_{\gamma} (z-a)^{n-k-1} dz \right] = 2 \cdot \pi \cdot i \cdot a_{-k} = ... = 2\cdot \pi \cdot i \cdot b_{-k} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so nun?

Warum existiert für alle anderen Fälle die Stammfunktion?

Berny

02.09.2008, 16:13

Estor

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RE: Identitätssatz Laurentreihen
Eine Stammfunktion ist F holomorph mit F' = f. Überleg dir doch, wie die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z-a)^{k} } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in N -\{1\} \end{eqnarray*}$ lautet. (wie im reellen).
Was wäre die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z-a)} \end{eqnarray*}$ im reellen? Weshalb existiert diese im komplexen nicht (auf diesem Gebiet)?
grüsse

02.09.2008, 19:37

Berny

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RE: Identitätssatz Laurentreihen
Hallo

Zitat:

Original von Estor
Eine Stammfunktion ist F holomorph mit F' = f. Überleg dir doch, wie die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z-a)^{k} } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in N -\{1\} \end{eqnarray*}$ lautet. (wie im reellen).

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{(z-a)^{k} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(z) = \frac{-k}{(z-a)^{k+1} } \end{eqnarray*}$

Soweit klar, dementsprechend ist das Integral über den geschlossenen Weg auch Null.
Auch Klar

Zitat:

Original von Estor
Was wäre die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z-a)} \end{eqnarray*}$ im reellen? Weshalb existiert diese im komplexen nicht (auf diesem Gebiet)?
grüsse

WEil das Integral darüber 2pi*i ergibt? smile

Also wie oben angekündigt erhalte ich das Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ a_{n} \int_{\gamma} (z-a)^{n-k-1} dz \right] = 2 \cdot \pi \cdot i \cdot a_{-k} = ... = 2\cdot \pi \cdot i \cdot b_{-k} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-a} \end{eqnarray*}$ ist ln(x-a)
Wie das mit dem (Hauptzweig des) Logarithmus (in C) war, weiss ich jetzt aber auch nicht.

Aber das Endergebnis von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ a_{n} \int_{\gamma} (z-a)^{n-k-1} dz \right] = 2 \cdot \pi \cdot i \cdot a_{-k} = ... = 2\cdot \pi \cdot i \cdot b_{-k} \end{eqnarray*}$ ist richtig und somit ist alles gezeigt?

Grüße,
Berny

03.09.2008, 07:07

Estor

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RE: Identitätssatz Laurentreihen
ja genau, stimmt (und auch die begründung, weshalb 1/(z-a) auf diesem Gebiet keine Stammfunktion haben kann ist richtig).

Grüsse
Estor

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