Winkelhalbierende

31.08.2008, 16:05

tuxianer

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Winkelhalbierende

Hallo,
es geht um das Dreieck: $\begin{eqnarray*} A(0/-2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B(12/2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} C(2/7) \end{eqnarray*}$

Ich möchte den Mittelpunkt der Winkelhalbierenden bestimmen. Zuerst habe ich den Anstieg der Seiten und deren Gleichung ermittelt:

$\begin{eqnarray*} y_a=-0.5x+8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_b=4.5x-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_c=\frac 1 3 x-2 \end{eqnarray*}$

danach den Anstieg, den die Wh's haben müssen...nach dem Prinzip: $\begin{eqnarray*} \frac {m_1+m_2} 2 \end{eqnarray*}$

damit komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} m_{wa}=\frac {29} {12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{wb}=-\frac 1 {12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{wc}=4.5 \end{eqnarray*}$

und damit dann die Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} y_{wa}= \frac{29}{12}\cdot x -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{wb}= -\frac{1}{12}\cdot x +3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{wc}= 2\cdot x +3 \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist jetzt, dass sich immer nur 2 halbierende schneiden. Wc scheint völlig falsch zu sein, da diese nicht durch Punkt C geht. Ich denke mal bei dieser wurde der Anstieg von mir falsch ermittelt.

Viele Grüße tuxianer

31.08.2008, 16:13

riwe

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RE: Winkelhalbierende

Zitat:

Original von tuxianer
Hallo,
es geht um das Dreieck: $\begin{eqnarray*} A(0/-2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B(12/2) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} C(2/7) \end{eqnarray*}$

Ich möchte den Mittelpunkt der Winkelhalbierenden bestimmen. Zuerst habe ich den Anstieg der Seiten und deren Gleichung ermittelt:

$\begin{eqnarray*} y_a=-0.5x+8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_b=4.5x-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_c=\frac 1 3 x-2 \end{eqnarray*}$

danach den Anstieg, den die Wh's haben müssen...nach dem Prinzip: $\begin{eqnarray*} \frac {m_1+m_2} 2 \end{eqnarray*}$

damit komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} m_{wa}=\frac {29} {12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{wb}=-\frac 1 {12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_{wc}=4.5 \end{eqnarray*}$

und damit dann die Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} y_{wa}= \frac{29}{12}\cdot x -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{wb}= -\frac{1}{12}\cdot x +3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{wc}= 2\cdot x +3 \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist jetzt, dass sich immer nur 2 halbierende schneiden. Wc scheint völlig falsch zu sein, da diese nicht durch Punkt C geht. Ich denke mal bei dieser wurde der Anstieg von mir falsch ermittelt.

Viele Grüße tuxianer

$\begin{eqnarray*} \frac{m_1+m_2}{2} \end{eqnarray*}$

woher hast du das verwirrt

verwirrt

31.08.2008, 16:17

tuxianer

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na ich dachte mir der Anstieg der Winkelhalbierenden muss ja genau zwischen den umgebenden Seiten angesiedelt sein.

Wie kann ich denn dann den Anstieg bestimmen?

Edit: ich hab ne bessere Idee. Aus den Anstiegen bekomme ich doch den Winkel zur x-Achse. Dann die differenz der beiden Winkel...

31.08.2008, 16:24

riwe

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Zitat:

Original von tuxianer
na ich dachte mir der Anstieg der Winkelhalbierenden muss ja genau zwischen den umgebenden Seiten angesiedelt sein.

Wie kann ich denn dann den Anstieg bestimmen?

Edit: ich hab ne bessere Idee. Aus den Anstiegen bekomme ich doch den Winkel zur x-Achse. Dann die differenz der beiden Winkel...

schon besser, aber immer noch nicht richtig

frage: kannst du schon vektoren verwenden, da geht es einfacher. verwirrt

verwirrt

oder kennst du die HNf verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} w_\alpha=HNF_{AB}\pm HNF_{AC} \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 16:28

tuxianer

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Also Vektoren hatten wir noch nicht Ein bisschen kann ich aber damit umgehen. Ich würde das ganze erstmal auf herkömmlichen Weg berechnen wollen. Danach kannst du mir ja, wenn du lust hast erklären wie es mit vektoren funktioniert.
HNf habe ich auch noch nicht gehört.

Also so müsste es doch gehen:

$\begin{eqnarray*} m_c=\frac 1 3 = tan(\alpha_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_b=4.5=tan(\alpha_2) \end{eqnarray*}$

somit wäre $\begin{eqnarray*} \alpha1=18.43° \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \alpha_2=77.47° \end{eqnarray*}$

Der Winkel Alpha ist also $\begin{eqnarray*} \alpha=\alpha_2-\alpha_1=77.47°-18.43°=59.04° \end{eqnarray*}$

Die Winkelhalbierende halbiert den Winkel Alpha zu je $\begin{eqnarray*} 29.52° \end{eqnarray*}$ . Um jetzt den Winkel relativ zur X-Achse zu bekommen muss ich wieder die $\begin{eqnarray*} 18.43° \end{eqnarray*}$ dazuaddieren. Wo ich dann auf $\begin{eqnarray*} 47.95° \end{eqnarray*}$ komme was ein Anstieg von $\begin{eqnarray*} m=1.109 \end{eqnarray*}$ wäre.

31.08.2008, 16:42

riwe

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mühsam

der anstieg der winkelhalbierenden durch A mit der trigonometrischen summenformel für den tangens usw.,
dabei mußt du noch bei dem vorzeichen vor dem 2. term aufpassen:

$\begin{eqnarray*} m_\alpha=tan(arctan(m_{AB})+\frac{1}{2}arctan|\frac{m_{AB}-m_{AC}}{1+m_{AB}\cdot m_{AC}}|) \end{eqnarray*}$

im prinzip wie du es "angedacht" hast:
berechne die steigungswinkel und zähle zu einem von ihnen den halben DIFFERENZwinkel dazu, oder ab unglücklich

unglücklich

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31.08.2008, 16:46

mYthos

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Halt, bitte nicht! So wird's echt mühsam, und ich bin fast sicher, dass da nix Gescheites herauskommt!
Normiere doch die Richtungsvektoren der Geraden und addiere / subtrahiere sie einfach und gut ist es!

mY+

31.08.2008, 16:51

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
Halt, bitte nicht! So wird's echt mühsam, und ich bin fast sicher, dass da nix Gescheites herauskommt!
Normiere doch die Richtungsvektoren der Geraden und addiere / subtrahiere sie einfach und gut ist es!

mY+

und was hat der tuxianer denn geschrieben verwirrt

verwirrt

und vorher ich verwirrt

verwirrt

hallo tuxianer:
der winkel der winkelhalbierenden durch A beträgt, wenn es denn stimmt:

$\begin{eqnarray*} \phi=47.95°=\frac{77.47+18.43}{2} \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 16:55

mYthos

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Sorry, hab ich glatt übersehen! Na denn, viel Vergnügen .... Big Laugh

Big Laugh

mY+

31.08.2008, 16:58

tuxianer

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Ok auf den gleichen Winkel bin ich auch gekommen siehe oben.

naja ich kann es ja mal mit Vektoren probieren.

Also:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} -10 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

31.08.2008, 17:09

riwe

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Freude

jetzt mußt du sie nur noch normieren
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}_0=\frac{1}{\sqrt{12^2+4^2}}\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 17:27

tuxianer

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ok.
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}_0=\begin{pmatrix} \frac 3 {10} \cdot \sqrt {10} \\ \frac 1 {10} \cdot \sqrt {10} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC}_0=\begin{pmatrix}-\frac 2 {5} \cdot \sqrt {5} \\ \frac 1 {5} \cdot \sqrt {5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}_0=\begin{pmatrix} \frac 2 {85} \cdot \sqrt {85} \\ \frac 9 {85} \cdot \sqrt {85} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allerdings versteh ich noch nicht ganz, was dieser Prozess jetzt bringt. Was ich jetzt gelesen habe müsste der Betrag von all diesen normierten Vektoren 1 sein. Also ist jetzt Quasi nur noch die Richtung von Interesse.

31.08.2008, 17:32

riwe

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die normierung ist notwendig, um denselben maßstab zu erhalten.

damit bekommst du nun sofort den richtungsvektor der winkelhalbierenden:

$\begin{eqnarray*} w_\alpha =\overrightarrow{AB}_0+\overrightarrow{AC}_0 \end{eqnarray*}$

beachte, dass die pfeile richtig "schauen", also vom punkt weg!

31.08.2008, 17:46

tuxianer

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hmm also mit dem Einheitsvektor habe ich noch nicht verstanden, warum dieser Notwendig ist. Das man durch das Addieren auf die Winkelhalbierende komme ist mir allerdings klar (Parallelogramm).

Mit der richtigen Richtung...bei A schauen sie ja in die gleiche Richtung. Bei B schaut einer zu C und einer kommt von A. Meinst du das? Wie muss ich dann da vorgehen? In dem Fall muss ich bestimmt subtrahieren. Aber was von was?

31.08.2008, 17:56

riwe

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Zitat:

Original von tuxianer
hmm also mit dem Einheitsvektor habe ich noch nicht verstanden, warum dieser Notwendig ist. Das man durch das Addieren auf die Winkelhalbierende komme ist mir allerdings klar (Parallelogramm).

ja eben, aber wenn es keine raute ist, also die seiten nicht gleich lang sind, halbieren die diagonalen den winkel NICHT!
daher die normierung, dann hast du seiten der länge $\begin{eqnarray*} l = 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mit der richtigen Richtung...bei A schauen sie ja in die gleiche Richtung. Bei B schaut einer zu C und einer kommt von A. Meinst du das? Wie muss ich dann da vorgehen? In dem Fall muss ich bestimmt subtrahieren. Aber was von was?

ja genau so ist es.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

also einfach alle vorzeichen umdrehen

31.08.2008, 18:06

tuxianer

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Ich mach jetzt erstmal mit gerundeten Werten weiter:
$\begin{eqnarray*} w_\alpha = \begin{pmatrix} 1.1656 \\ 1.2924 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_\beta = \begin{pmatrix} -1.84311 \\ 0.13099 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich ja daraus den Schnitpunkt bestimmen.

31.08.2008, 18:21

riwe

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Zitat:

Original von tuxianer
Ich mach jetzt erstmal mit gerundeten Werten weiter:
$\begin{eqnarray*} w_\alpha = \begin{pmatrix} 1.1656 \\ 1.2924 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_\beta = \begin{pmatrix} -1.84311 \\ 0.13099 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich ja daraus den Schnitpunkt bestimmen.

nein, zuerst die geraden aufstellen:

$\begin{eqnarray*} g_{w_\alpha}:\quad{ }\vec{x}=\overrightarrow{OA}+t\cdot w_\alpha \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 18:24

tuxianer

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hmm kannst du das mal bitte ein einer vormachen? Mir ist noch nicht so ganz klar, wie ich das anstellen soll.

31.08.2008, 18:30

riwe

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$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1.1656 \\ 1.2924 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ok verwirrt

verwirrt

bei der 2. verwende bitte dann einen anderen buchstaben für den parameter (t)

31.08.2008, 20:33

tuxianer

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soweit ist mir das schon klar aer wie erhalte ich jetzt eine gleichung in der normalform?

31.08.2008, 21:13

riwe

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brauchst du nicht,
aber wie du wünschst:
eliminiere den parameter t:

$\begin{eqnarray*} x=1.16t\to t=\frac{x}{1.16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=-2+1.29\cdot\frac{x}{1.16}\to 1.29x-1.16y-2.32=0 \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 22:08

tuxianer

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hmm also die Umformungen kann ich leider auch nicht voll und ganz nachvollziehen. Kann ich die Vektoren so "aufsplitten"?

$\begin{eqnarray*} x=0+t\cdot 1.1656 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=-2 + t \cdot 1.2924 \end{eqnarray*}$

Und wie kann ich den Schnittpunkt aus der Form bestimmen?
$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1.1656 \\ 1.2924 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einfach gleichsetzen? Nur mit Matrizen kenne ich mich nicht so gut aus. Da müsst ich nochmal nachlesen

aber erst mal die andere Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 2 \end{pmatrix} +u\begin{pmatrix} -1.84311 \\ 0.13099 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 22:50

riwe

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löse das lineare gleichungssystem in t und u:
(1) $\begin{eqnarray*} 0+1.16t=12-1.84u \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} - 2+1.29t=2+0.13u \end{eqnarray*}$

und setze dann t bzw. u ein, das ergibt mit $\begin{eqnarray*} t = 3,5287 \end{eqnarray*}$
den inkreismittelpunkt $\begin{eqnarray*} I(4.11/ 2.56) \end{eqnarray*}$

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