Zinsrechnung: monatliche Verzinsung UND monatliche Einzahlung

29.05.2006, 20:00	floh234	Auf diesen Beitrag antworten »
Zinsrechnung: monatliche Verzinsung UND monatliche Einzahlung Hallo! Ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter, weil wir nur Aufgaben mit jährlicher Einzahlung hatten und ich nicht weiß, wie ich die monatlichen Einzahlungen in meine Formeln einbauen kann. Hier erstmal der Aufgabentext: Frau Müller hat am 1. Januar 2005 einen Sparvertrag bei ihrer Hausbank abgeschlossen. Sie leistet monatlich Einzahlungen in Höhe von 150 €, jeweils am Monatsende. Die Laufzeit des Soarvertrages beträgt 7 Jahre, wobei die monatlichen Raten nur über einen Zeitraum von 5 Jahren zu leisten ist. Während der gesamten Laufzeit des Sparvertrages beträgt der Guthabenszins 6% p.a. und die Zinsverrechnung erfolgt monatlich. Über welchen Betrag kann Frau Müller am 31.12.2011 verfügen? Ich hoffe, dass mir jemand von euch helfen kann! Schon mal vielen lieben Dank für eure Mühe!!!
29.05.2006, 20:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, bei unterjähriger Verzinsung muss mit dem äquivalenten Zinssatz gerechnet werden. Dabei wird - wenn es im Jahr n Verzinsungsperioden gibt - der Aufzinsungsfaktor für die jeweilige (unterjährige) Zinsperiode als die n-te Wurzel aus dem jährlichen Aufzinsungsfaktor errechnet. In deinem Fall: p = 6% q = 1,06 (Jahr) $\begin{eqnarray} q_{12} = ^{12} \sqrt {1 + \frac{p}{100}} = ^{12} \sqrt {1,06} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_{12} \end{eqnarray}$ ist der Aufzinsungsfaktor im Monat. Gr mYthos
29.05.2006, 21:40	floh234	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, verstehe. Also müsste ich das jetzt in die Formel für unterjährige Verzinsung einsetzen? Das wäre dann ja: $\begin{eqnarray} K5,12= 150 ( (1 + \frac{\sqrt[12]{1,06}}{12})^{124} + ... + 1) \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Und muss ich das Ergebnis dann nur noch mit $\begin{eqnarray} 1,06^{2} \end{eqnarray}$ multiplizieren für die Jahre 6 und 7?
30.05.2006, 11:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so nicht, denn nach meinem Ansatz - mit dem äquivalenten/konformen Zinssatz - gibt es ja in den ersten 5 Jahren nur einfach 60 Monatsraten (mit dem Aufzinsungsfaktor $\begin{eqnarray} q_{12} \end{eqnarray}$ ) zu summieren: Am Ende des 5. Jahres: $\begin{eqnarray} K_5 = 150 \cdot \frac{q_{12}^{60} - 1}{q_{12} - 1} \end{eqnarray}$ dann noch mit q^2 multiplizieren (von dir richtig) $\begin{eqnarray} E = K_5 \cdot q^2 \end{eqnarray}$ ------------------ Wenn ich mir allerdings deine Formel für die unterjährige Verzinsung ansehe, beruht diese auf dem nominellen Zinssatz* - übrigens gehört statt 4 doch 5, denn es sind ja 5 Jahre, in denen die Monatsraten geleistet werden: $\begin{eqnarray} K_{5,12}= 150 \cdot (1 + \frac{0,06}{12})^{12 \cdot 5} + ... + 1) \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} i_m = \frac{i}{m} \end{eqnarray}$ ; Hier wird für den (nominellen) Monatszinssatz ein Zwölftes des Jahreszinssatzes angenommen (also 0,5%) Beide Zinsarten sind möglich, im zweiten Fall ergibt sich allerdings ein höherer efffektiver Zinssatz. Die Ergebnisse sind jedoch nur dann widerspruchsfrei, wenn man den konformen unterjährigen Zinssatz* wie im ersten Fall verwendet! *) Konformer (äquivalenter) unterjähriger Zinssatz: $\begin{eqnarray} (1 + i_m)^m = 1 + i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i_m \end{eqnarray}$ wird so bestimmt, dass sich derselbe Effektivzinssatz ergibt wie bei jährlicher Verzinsung. Beispiel: i = 12%: halbjährlich: $\begin{eqnarray} (1 + i_2)^2 = 1,12 \rightarrow i_2 = 5,83% \end{eqnarray}$ vierteljährlich: $\begin{eqnarray} (1 + i_4)^4 = 1,12 \rightarrow i_4 = 2,87% \end{eqnarray}$ monatlich: $\begin{eqnarray} (1 + i_{12})^{12} = 1,12 \rightarrow i_{12} = 0,95% \end{eqnarray*}$ mY+
30.05.2006, 12:29	floh234	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich hätte ja nie gedacht, dass ich tatsächlich noch mal auf das richtige Ergebnis kommen würde!!! Vielen lieben Dank für die Hilfe!!!

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