1. Ableitung (auch eine der 1. überhaupt)

29.05.2006, 18:27

DrGonzo

1. Ableitung (auch eine der 1. überhaupt)

Hallo an alle,
bitte schlagt nicht gleich die Hände überm Kopf zusammen wenn ihr das seht, suche schon ne Stunde in Büchern und im Netz aber komme nicht weiter bei Ableitungen von Funktionen die Brüche sind. Quotientenregel kenn ich noch nicht und es geht ja auch immer über die Ketten- und Produktregel.

Hab hier 4 Aufgaben der Art wie ich sie nicht kann, hoffe das ich nach einer die anderen dann auch hinbekomme.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^{3}+5x-2}{3x^{2}+1} \end{eqnarray*}$ soll abgeleitet werden.

Probleme bekomme ich im Nenner wenn ich ihn mit ^-1 auf die gleiche ebene hole wie den Zähler.
Alles was ich daraus bisher abgeleitet habe brachte mich nicht zur Lösung.

Hoffe ihr könnt mir ein Anstoß geben.
Danke

29.05.2006, 18:29

system-agent

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was hälst du zb. noch von polynomdivision?
aber mit der ketten- und produktregel solltest du weiterkommen, denk dran den zähler auch einzuklammern... Lehrer

29.05.2006, 18:32

Frooke

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RE: 1. Ableitung (auch eine der 1. überhaupt)

Herzlich willkommen on Matheboard, DrGonzo!

Zitat:

Original von DrGonzo
Quotientenregel kenn ich noch nicht und es geht ja auch immer über die Ketten- und Produktregel.

Jepp!

Zu:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^{3}+5x-2}{3x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Wie Du bereits geschrieben hast, kannst Du umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} f(x) = \underbrace{(x^{3}+5x-2)}_{=g}\underbrace{(3x^{2}+1)^{-1}}_{=h} \end{eqnarray*}$

Nun einfach f'=gh'+g'h anwenden (innere Ableitung nicht vergessen) und fertig!

EDIT: Die Idee mit der Polynomdivision ist natürlich hervorragend, weil sie die Sache unter Umständen enorm erleichtern kann. Hab ich in diesem Moment nicht dran gedacht Hammer

29.05.2006, 21:32

Chris2005

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moment mal, muss man da nicht eine quotientenregel verwenden von wegen $\begin{eqnarray*} \frac{u}{v}=\frac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^2} \end{eqnarray*}$

mfg chris

29.05.2006, 21:45

Spiggie

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man kann, man muss aber nicht ^^

EDIT: Außerdem tut es einem Mathematiker in den Augen weh, wenn du da ein $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ stehen hast...

29.05.2006, 21:49

derkoch

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Zitat:

Original von Chris2005
moment mal, muss man da nicht eine quotientenregel verwenden von wegen $\begin{eqnarray*} \frac{u}{v}=\frac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^2} \end{eqnarray*}$

mfg chris

nein muß man nicht! man kann so ziemlich bei vielen aufgaben die quotientenregel umgehen, wenn man aus dem quotienten ein produkt macht!

$\begin{eqnarray*} \frac{u}{v}= uv^{-1} \end{eqnarray*}$ und schwupp hat man schon eine aufgabe für die produktregel! smile

30.05.2006, 05:53

Chris2005

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ob mann jetzt die produktregel oder die quotientenregel verwendet ist meiner meinung nach auch schon ziemlich egal, der zähler ist fast gleich und der nenner kommt dazu!

mfg chris

30.05.2006, 08:30

Frooke

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RE: 1. Ableitung (auch eine der 1. überhaupt)
Der entscheidende Punkt hier ist doch folgender:

Zitat:

Original von DrGonzo
Quotientenregel kenn ich noch nicht und es geht ja auch immer über die Ketten- und Produktregel.

Deswegen meine Variante.

30.05.2006, 10:41

DrGonzo

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Hey Leute, vielen Dank erstmal.

Bin inzwischen (nicht zuletzt durch eure Hilfe) auf das Ergebnis gekommen. Mein Mathe-Lehrer verzichtet darauf uns die Quotientenregel beizubringen da man ab Funktionen mit $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$
und höheren Potenzen schnell Rechenfehler hineinbekommt. Ich kann das nicht bestätigen bzw. dementieren da ich sie ja nicht kenne. Vielleicht seht ihr das ähnlich oder ganz anders.

Die Lösung nochmal Schrit für Schritt für alle die mitgelesen haben weil sie ein ähnliches Problem hatten:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^{3}+5x-2}{3x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \underbrace{(x^{3}+5x-2)}_{u}\underbrace{(3x^{2}+1)^{-1}}_{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^, =v^, \cdot w^, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=3x^{2}+1 \end{eqnarray*}$ ---------> $\begin{eqnarray*} v^, =6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w=v^{-1} \end{eqnarray*}$ ----------> $\begin{eqnarray*} w^, =(-1)\cdot v^{-2}=[-(3x^{2}+1)^{-2}]=-\frac{1}{(3x^{2}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^,= -\frac{6x}{(3x^{2}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^,=u^,\cdot z+u\cdot z^,=\frac{3x^4-12x^2+12x+5}{(3x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Fertig. Augenzwinkern

30.05.2006, 12:13

system-agent

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bei der quotientenregel bekommste nicht mehr oder weniger fehler rein als sonst auch, von daher würde ich sie mir an deiner stelle schonmal ansehen...herleitung über die produktregel Augenzwinkern

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