Volumsintegral: Kreis und Parabel

31.08.2008, 17:55

eierkopf1

Volumsintegral: Kreis und Parabel

Hallo!

Ich habe hier ein Beispiel, bei dem ich nicht auf die angegebene Lösung komme:

$\begin{eqnarray*} f(x): y=-2x^2+2 \end{eqnarray*}$

"Ein Kreis $\begin{eqnarray*} k: M(0/3) \end{eqnarray*}$ schneidet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ; die von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ begrenzte Figur rotiert um die y-Achse. Berechne das Volumen des Drehkörpers!
Bestimme den Schnittwenkel von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ !

Angegebene Lösung:
$\begin{eqnarray*} V=3,397 VE \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi = 85,6 ° \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:
Ich rechne zuerst den y-Wert des Punktes aus:
$\begin{eqnarray*} P(1/0) \end{eqnarray*}$
Dann setze ich P und M in die allgemeine Kreisgleichung ein:

$\begin{eqnarray*} r^2 = (1-0)^2+(0-3)^2 \end{eqnarray*}$

Und komme auf:

$\begin{eqnarray*} k: 10=(x-0)^2+(y-3)^2 \end{eqnarray*}$

So schaut es dann ca. aus:

Warum wird der Kreis nicht ganz dargestellt?

Ich rechne jetzt $\begin{eqnarray*} V_{Kreis} \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} V_{Kreis} = \pi \int_{0}^{6,16}~(-y^2+6y+1)~dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi [-\frac{1}{3}y^3+3y^2+y]_{0}^{6,16} = 42,08 \pi \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} V_{Parabel} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} V_{Parabel}=\pi \int_{0}^{2}~(-\frac{1}{2}y+1)~dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi[ -\frac{y^2}{4}+y ]_{0}^2 =1\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_y=V_{Kreis}-V_{Parabel} = 41,08\pi \end{eqnarray*}$

Die Lösung stimmt leider nicht mit der angegebenen Lösung überein unglücklich

Wo liegt mein Fehler?

Hat jemand eine Idee?

mfg

31.08.2008, 18:07

Felix

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Warum sollte die von f und k begrenzte Figur denn die Differenz ihrer Volumen sein ??
Probiers mal mit :

$\begin{eqnarray*} V = \pi * \int_{a}^{b}~((u(x))² - ((v(x))²)~dx \end{eqnarray*}$

lg

31.08.2008, 18:13

eierkopf1

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Zitat:

Original von Felix
Warum sollte die von f und k begrenzte Figur denn die Differenz ihrer Volumen sein ??
Probiers mal mit :

$\begin{eqnarray*} V = \pi * \int_{a}^{b}~((u(x))² - ((v(x))²)~dx \end{eqnarray*}$

lg

Danke für die Antwort!

Verstehe nicht was du meinst.

Es ist ja das Volumen um die y-Achse gefragt.

mfg

31.08.2008, 18:19

riwe

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die haben den anderen teil berechnet
grenzen $\begin{eqnarray*} 0 \to \sqrt{10}-3 \end{eqnarray*}$

31.08.2008, 18:26

Huggy

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RE: Volumsintegral: Kreis und Parabel
Wenn der Kreis um die y-Achse rotiert, hat man eine Kugel. Deren Volumen ergibt sich aus dem Radius. Da muss man nicht integrieren.

31.08.2008, 18:32

eierkopf1

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Zitat:

Original von riwe
die haben den anderen teil berechnet
grenzen $\begin{eqnarray*} 0 \to \sqrt{10}-3 \end{eqnarray*}$

Danke für die Antwort!

Du meinst die Grenzen:

$\begin{eqnarray*} 0 \to -\sqrt{10}+3 \end{eqnarray*}$

Mit diesen Grenzen komme ich auf die angegebne Lösung.

Aber man könnte es schon auch so verstehen, wie ich es berechnet habe, oder?

@Huggy
Wie hättest du es ohne Integral gelöst?

mfg

31.08.2008, 18:38

Huggy

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Zitat:

Original von eierkopf1
@Huggy
Wie hättest du es ohne Integral gelöst?

mfg

Ohne integrieren geht es nicht. Aber das Volumen der Kugel allein geht ohne.

31.08.2008, 18:41

eierkopf1

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von eierkopf1
@Huggy
Wie hättest du es ohne Integral gelöst?

mfg

Ohne integrieren geht es nicht. Aber das Volumen der Kugel allein geht ohne.

Dies ginge aber nur, wenn das gesamte Volumen der Kugel minus/plus dem Volumen der Parabel gefragt wäre oder?

mfg

31.08.2008, 18:59

Huggy

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Richtig! Da war ich zu voreilig.

07.09.2008, 22:02

eierkopf1

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Wie bestimme ich jetzt die Schnittwinkel von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ?

Mittels Vektorrechnung oder gibt es eine andere (einfachere) Möglichkeit?

Was genau ist eigentlich der Schnittwinkel? Die Funktion und der Kreis haben ja 2 Schnittpunkte und daher müssten sie auch 2 Schnittwinkel haben, oder?

mfg

08.09.2008, 00:21

WebFritzi

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Es sind die Schnittwinkel der Tangenten an f und k in den Schnittpunkten gemeint.

08.09.2008, 07:19

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Dh, das löse ich am einfachsten mit der Vektorrechnung, oder?

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