Lösung einer DGL 1. Ordnung

31.08.2008, 18:48

salla

Lösung einer DGL 1. Ordnung

Hallo zusammen Wink

,

habe ein Problem mit der Lsg. folgender DGL: m´ - (m/t) = (t+1)/t
Die homogene Lsg. lautet: mh = C*t (das habe ich noch hinbekommen...)
Nur jetzt komme ich nicht mehr weiter verwirrt

Wäre super, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.

Lieben Gruß,
salla

31.08.2008, 20:01

pingu

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RE: Lösung einer DGL 1. Ordnung
Hallo,

Hast du schon mal was von "Variation der Konstanten" gehört? Augenzwinkern

Und übrigens, ich glaub da würde man eher m = t+C (homogene Lsg.) schreiben.

31.08.2008, 20:48

salla

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Ja, davon habe ich schon gehört und ich habe sogar versucht dies anzuwenden.
Dabei ergibt sich nur folgendes Problem: wenn ich die homogene Lsg. ableite, erhalte ich ja m´ = C
Wenn ich das nun in die inhomogene DGL einsetze, komme ich zu folgendem Ergebnis: C - (C*t)/t = (t+1)/t
Wenn ich das richtig sehe, kürzt sich C raus, oder? Somit bringt mir das Ganze nichts, oder stehe ich mal wieder auf dem Schlauch?
Bitte korrigiert mich, wenn ich mit irgendwas falsch liege...
Leider weiß ich nicht, wo mein Fehler bzw. Denkfehler liegt Hilfe

31.08.2008, 21:01

pingu

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Es heisst ja aber eigtl t+C, d.h., wenn du nach t ableiten würdest, würde da 1 stehen. Des weiteren musst du den inhomogenen Teil erst noch berechnen. Wir haben bis jetzt erst Teil a, also den homogenen Teil. Ich schreib dir die allg. lineare DGL erster Ordnung mal auf:

m' = p(t)*m + q(t)

Ich schreib das mal noch für deine Aufgabe hin (umgeformt): m' - m/t = 1 + 1/t

Den homogenen Teil haben wir ja bereits, das ist ja der linke Teil der oberen Gleichung, nun also zu Teil b).

Ich schreib die "Formel" mal abgekürzt hin, also ohne Herleitung, dahinter steckt nämlich schon ne Überlegung. $\begin{eqnarray*} m=M(t) \cdot (\int_{}^{}~\frac{q(t)}{M(t)}~dt + C_1) \end{eqnarray*}$

Das M(t) steht für deinen hom. Teil, und das q(t) für den inhomogenen. Versuchs jetzt mal und falls Fragen da sind, einfach fragen.

Ach ja, notier doch bitte Schritt für Schritt, so dass man Fehler sofort erkennen und eliminieren kann.

31.08.2008, 21:16

salla

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Ich hätte schon mal vorab ne Frage wegen der hom. DGL:
Wieso ist m=C*t das Gleiche wie m=t+C ? Habe nämlich in der Lsg. auch m=C*t stehen.

31.08.2008, 21:25

pingu

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Es ist schon nicht dieselbe Konstante Augenzwinkern

. Schau mal, ich schreibs mal Schritt für Schritt auf:

Für den homogenen Teil werden ich das bekommen: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{M}~dM = \int_{}^{}~\frac{1}{t}~dt \end{eqnarray*}$

Das widerum ergibt: log(M) = log(t) + C.

Nun möchte ich ja aber M alleine da stehen haben, also wende ich auf die Gleichung die e-Fkt. an. So ergibt sich mir: $\begin{eqnarray*} e^{log(M)} = e^{log(t)+C} \end{eqnarray*}$ , was umgeformt gleich dem ist: $\begin{eqnarray*} e^{log(M)} = e^{log(t)} \cdot e^{C} \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt weiter: M = t*e^C und dieses e^C kann ich einfach als neue Konstante C' zusammenfassen. Sry, wegen der Verwirrung eben, ich hätte das C vllt von Anfang an anders wählen sollen als du, damit es nicht zu so einer Verwirrung kommt.

31.08.2008, 22:37

salla

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ahhh, na klar, dann ist es logisch. Das hab´ ich jetzt kapiert- danke Augenzwinkern

Nur hab´ ich leider noch ein Problem mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} m=M(t) \cdot (\int_{}^{}~\frac{q(t)}{M(t)}~dt + C_1) \end{eqnarray*}$
Könntest du mir wohl mal "meine" Zahlen einsetzen? Vielleicht versteh´ ichs dann mal endlich traurig

Das wäre ect super toll...

31.08.2008, 23:59

pingu

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Naja, der Sinn des Boards ist eigtl, dass du selber daraufkommen solltest, also dass man nicht alles vorrechnen sollte. Wo drückt denn der Schuh? Das M(t) ist die homogene Lsg: $\begin{eqnarray*} m_h = t+C' \end{eqnarray*}$ , ich hab jetzt mal C' wie vorher bei der Erklärung als Konstante genommen. Ich persöhnlich würde C' weglassen und $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ (siehe Beiträge zuvor) als endgültige Konstante wählen. Und das q(t) ist dann das: 1 + 1/t. Verstehst du das nun so? Versuch das jetzt mal zu integrieren.

lg

01.09.2008, 12:55

salla

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So, ich hab das jetzt mal versucht und hoffe, dass ich das jetzt richtig verstanden und gerechnet habe-danke für den Tip. Werde einfach mal hinschreiben, was ich da fabriziert habe.
$\begin{eqnarray*} m=(C1+t)*\int \frac{t+1}{t*(C1+t)} dt \end{eqnarray*}$
Das ist ja dann die Ausgangsgleichung. Nun habe ich eine Partialbruchzerlegung vorgenommen, die Konstante ausgekammert und s=C+t substituiert. Dann erhalte ich diese Gleichung:
$\begin{eqnarray*} m= (C1*t)*\frac{1}{C1} \int \frac{t+1}{t} dt- \frac{1}{C1} \int (-\frac{C1}{s} +\frac{1}{s} +1)ds \end{eqnarray*}$
Jetzt habe ich jeden Term "alleine" Integriert und erhalte nach der Rücksubstitution folgende Endgleichung:
$\begin{eqnarray*} m= (C1*t)*\frac{ln(C1+t)*C+lnt-C1-ln(C1+t)}{C1} +K \end{eqnarray*}$
Habe jetzt nicht jeden Zwischenschritt aufgeschrieben. Hoffe aber, dass das trotzdem verständlich ist. Ansonsten schreib´ ich das Ganze noch mal ausführlicher... smile

01.09.2008, 13:56

pingu

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Wie kommst du denn darauf:
$\begin{eqnarray*} m=(C1+t)*\int \frac{t+1}{t*(C1+t)} dt \end{eqnarray*}$ ? Was hat das t da unten imm Nenner zu suchen? Ausserdem hast du C' einfach durch $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ ersetzt, das meinte ich eigtl nicht so. Eine Substitution ist nur dann sinnvoll, wenn sie wirklich etwas bringt, wie eine Vereinfachung beispielsweise. Aber da C' da gleich $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ ist, stiftet das nur unnötige Verwirrung. Was ich damit eigtl bezwecken wollte, war, dass ich für das M(t) keine Konstante mehr dabei habe, sondern alle Konstanten in der Konstante $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ zusammenfasse.

Das heisst, das die Gl nun folgendermassen aussieht: $\begin{eqnarray*} m=t(\int_{}^{}~\frac{1+\frac{1}{t}}{t}~dt) + C_1 \end{eqnarray*}$

Ich hab alle Konstanten in die Konstante $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ gekippt. Versuch jetzt mal zu integrieren. Und falls noch Fragen da sind, einfach fragen Augenzwinkern

01.09.2008, 14:47

salla

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na ja, so ist das natürlich schon einfacher. Habe mich schon gewundert, wieso das Ganze so kompliziert wurde.
Also wenn ich diesmal richtig liege, kommt zum Schluss
$\begin{eqnarray*} m= t*\frac{t*lnt-1}{t} +K \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} m= t*lnt-1+K*t \end{eqnarray*}$
Das müsste jetzt eigentlich so richtig sein, oder?

01.09.2008, 15:06

pingu

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Stimmt beinahe, ist nur noch ein kleiner Fehler drin, aber ich glaube grundsätzlich hast du das Richtige gemeint.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} m= t*\frac{t*lnt-1}{t} +K \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} m= t*lnt-1+K*t \end{eqnarray*}$

Das t kannste doch einfach streichen (siehe erster Term) und dann ergibt sich: $\begin{eqnarray*} m= t*lnt-1+K \end{eqnarray*}$

So fertig! Falls dus noch überprüfen möchtest oder generell, falls du schauen möchtest, ob dein Resultat stimmt, kannst du es einfach in die Ursprungsgl einsetzen und so nachprüfen, ob die Gleichung dann stimmt, denn, wenn ja, hast du richtig gerechnent smile

01.09.2008, 15:20

salla

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Ja gut, das stimmt. Bin ja schon mal froh, dass ich das jetzt vom Prinzip verstanden habe.
Vielen, vielen, lieben Dank für deine Hilfe Freude

!!!
Jetzt weiß ich wenigstens wo mein Denkfehler war.

Liebe Grüße,
salla

01.09.2008, 19:10

WebFritzi

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@pingu: Die homogene Lösung ist $\begin{eqnarray*} m_h(t) = ct \end{eqnarray*}$ und nicht t + c.

Die allgemeine Lösung ergibt sich mit einer festen homogenen Lösung M(t) (z.B. M(t) = t) so:

$\begin{eqnarray*} m(t) = M(t)\cdot \int \frac{\text{rechte Seite}}{m_h(t)}\,dt = t \cdot \int \frac{1 + \frac{1}{t}}{t}\,dt = t\cdot\left(\ln(t) - \frac{1}{t} + k\right) = t\ln(t) - 1 + kt. \end{eqnarray*}$

01.09.2008, 19:27

pingu

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Stimmt, ich sehs auch grad, weiss auch nicht, was ich dabei gedacht hab. Naja, Ende gut, alles gut Augenzwinkern

. Aber das K hab ich da ausserhalb der Klammer und Intgralzeichen (siehe oben).

01.09.2008, 19:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von pingu
Aber das K hab ich da ausserhalb der Klammer und Intgralzeichen (siehe oben).

Deine Lösung ist ja auch falsch. Wäre vielleicht ganz gut gewesen, wenn du selbst die Probe gemacht hättest.

01.09.2008, 20:17

pingu

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Hab ich gemacht, aber ohne Konstante merk ich gerade. Komisch, ich hab das so mit der Konstante ausserhalb in meinem Vorlesungsheft... Ist die immer innerhalb der Klammer?

01.09.2008, 20:28

WebFritzi

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Ja. Allgemeine Lösung ist

homogene * Stammfunktion von [rechte Seite / homogene]

Das K gehört natürlich zur Stammfunktion und muss mit in die Klammer.

"homogene" ist hier irgendeine bestimmte homogene. Wie oben im Beispiel: t.

01.09.2008, 20:31

pingu

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ok, gut, danke. Dann kann ich das ja auch gleich so noch bei mir nachtragen.

01.09.2008, 21:29

salla

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Hallo,

muss mich jetzt noch mal eben einschalten....
Sehe ich das richtig, dass die richtigen Lsg. mh=C*t und m=t*lnt-1+K*t sind oder habe ich da was falsch verstanden?

lg

01.09.2008, 21:51

WebFritzi

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So ist es richtig!

01.09.2008, 22:00

salla

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So, nun habe ich doch noch eine doofe Frage. Du schreibst, dass sich die allg. Lsg aus einer "festen hom. Lsg." M(t) ergibt. Nun meine Frage: woher nehme ich diese "feste hom. Lsg." ?

01.09.2008, 22:30

WebFritzi

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Du nimmst dir halt eine. Irgendeine. Wie du die homogenen Lösungen rausbekommst, weißt du ja sicher, oder?

01.09.2008, 22:56

salla

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Ach so...
Ja, die Lösung einer homogenen DGL bekomme ich hin.

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