Konkrete Aufgabe zur Approximation - Verständnissfrage

31.08.2008, 20:36

pygospa

Konkrete Aufgabe zur Approximation - Verständnissfrage

Hallo Mathefreunde,

ich hab ja lange nichts mehr von mir hören lassen, da mein Studium ein wenig drunter und drüber ging. Nun also übe ich gerade für eine Mündliche Nachprüfung und bin über eine Aufgabe mit Lösung gestolpert, die ich nicht ganz verstehe.

Also, zur Aufgabe:

Es geht um 1000 Verträge, die eine Versicherungsgesellschaft abgeschlossen hat, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schaden in der Vertragslaufzeit vorkommt, beträgt 0,05 und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von mind. 40 Schadensfällen in der Laufzeit.

Mein Lösungsweg

X ist stetige Zufallsvariable X = {1, 2, ... 1000}

Da sehr geringe Wahrscheinlichkeit: Poissonverteilung.

P(X) = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{x} \frac{\lambda^k * e^-\lambda}{k!} \end{eqnarray*}$

Da aber die Summe von 1-39 zu bilden sehr umständlich ist, gehe ich dann über zur Normalverteilung. Ist auch machbar, da $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ > 10

Jetzt rechne ich so weiter:
P(X>=40) = 1-P(X=<40)
$\begin{eqnarray*} = 1 - F(40) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 - \Omega (\frac{40+0,5-50}{\sqrt[2]{50}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 -\Omega (-\sqrt[2]{1,805}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 - (1 -\Omega (\sqrt[2]{1,805}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0,91045 \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Jetzt steht aber in der Lösung:

$\begin{eqnarray*} = 1 - F(40) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 - \Omega (\frac{40-50}{\sqrt[2]{50}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 -\Omega (-\sqrt[2]{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 - (1 -\Omega (\sqrt[2]{2})) \end{eqnarray*}$

Stätigkeitskorrektur, also 39,5.
---
Das ist alles was dort steht.
Was genau bedeutet das also? Das ich statt dessen mit 39,5 arbeiten soll?
Dann müsste das Ergebnis also 0,93122 betragen. Ist das die Lösung?

Und wenn ja, warum? In allen anderen Aufgaben die wir gerechnet hatten, war die Stetigkeitskorrektur immer +0,5.

Was genau hat es mit der Stetigkeitskorrektur auf sich? Warum gibt es sie? (Ich weiß nur, dass sie benutzt wird, wenn man von stetigen Verteilungen auf unstetige Verteilungen approximiert.

Kann mir das jemand erklären *liebschau*

Grüße,
pygospa

01.09.2008, 07:49

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Zitat:

Original von pygospa
P(X>=40) = 1-P(X=<40)

Das ist falsch. Es ist

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 40) = 1-P(X<40) = 1-P(X\leq 39) \end{eqnarray*}$

Tipp mal "Stetigkeitskorrektur" hier in der Boardsuche ein...

01.09.2008, 13:44

pygospa

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Ach so. Also werden doch 0,5 dazu addiert, aber zur Zahl 39.

Jetzt macht das ganze auch ein wenig mehr Sinn für mich Augenzwinkern

Eine Frage habe ich dennoch:

Das
$\begin{eqnarray*} 1 - P(X \leq 39) \end{eqnarray*}$
macht man ja nur für diskrete Zufallsvariablen, bei stetigen Zufallsvariablen hingegen wäre es
$\begin{eqnarray*} 1 - P(X \leq 40) \end{eqnarray*}$ .
Nun ist doch aber die Normalverteilung, mit der hier approximiert wird, ein stetiges Verteilungsmodell.

D.h. also das es bei der Approximation in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht darauf ankommt, welches Modell man anwendet, sondern um was für eine Zufallsvariable es sich handelt, und das in einem stetigen Modell eine diskrete Zufallsvariable dennoch auch wie eine diskrete Variable behandelt wird.

Ist das soweit richtig?

01.09.2008, 15:59

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Für die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , um die es hier konkret geht, gibt es keine verschiedenen Modelle: Die ist weder poisson- noch normalverteilt, sondern binomialverteilt $\begin{eqnarray*} X \sim B(1000,0.05) \end{eqnarray*}$ . Das und nur das ist zu beachten, wenn man nun mit Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X<40)=P(X\leq 39) \end{eqnarray*}$ rumoperiert.

Was anderes ist es jetzt, wenn man jetzt aus Gründen einfacherer Berechnung die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch die einer Normalverteilung approximiert. Dann stimmt zwar die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung näherungsweise mit der der approximierenden Normalverteilung überein, trotzdem wird $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ dadurch aber noch lange nicht zu einer stetigen Zufallsgröße: $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ selbst ist und bleibt binomialverteilt - das sollte man immer beachten!

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