Taylorreihe

01.09.2008, 07:14

eierkopf1

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Taylorreihe

Hallo!

Ich habe mich nun das erste Mal mit Potzen- und Taylorreihen beschäftigt.

Bei diesem Beispiel, bin ich mir nicht sicher bzw. komme ich nicht ganz weiter:

"Entwickle die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{(1+x)^2}{\sqrt{x+1}} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ in eine Taylorreihe. Schreibe die ersten 5 Glieder explizit an und gib eine Formeldarstellung an."

Ich habe zuerst die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{(1+x)^2}{\sqrt{x+1}} \end{eqnarray*}$ auf
$\begin{eqnarray*} f(x)=(1+x)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ umgeformt.

Jetzt bilde ich die Ableitungen und rechne sie für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(1+x)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3}{2}(1+x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(0) = 1,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{3}{4}(1+x)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0) = 0,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-\frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(0) = -0,375 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^4(x)=\frac{9}{16}(1+x)^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^4(0) = 0,5625 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^5(x)=-\frac{45}{32}(1+x)^{-\frac{7}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^5(0) = -1,40625 \end{eqnarray*}$

Ich dachte bei der Taylorreihen ist jedes zweite Glied 0? Oder nehme ich für die Taylorreihe nur jedes 2. Glied her?

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1 +1,5x + \frac{0,75x^2}{2} - \frac{0,375x^3}{6}+\frac{0,525x^4}{24} - \frac{1,40625x^5}{120} .... \end{eqnarray*}$

Jetzt gebe ich die 5 ersten Glieder an:

$\begin{eqnarray*} P_1= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2= 1 +1,5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_3= 1 +1,5x + \frac{0,75x^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_4= 1 +1,5x + \frac{0,75x^2}{2} - \frac{0,375x^3}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_5= 1 +1,5x + \frac{0,75x^2}{2} - \frac{0,375x^3}{6}+\frac{0,525x^4}{24} \end{eqnarray*}$

Stimmt es bis hierhin? Ist mein Vorgehen korrekt?

Was ist mit "gib eine Formeldarstellung an" gemeint? Wie mache ich das?

Danke schon mal für die Hilfe!

mfg

01.09.2008, 08:37

klarsoweit

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von eierkopf1
Ich dachte bei der Taylorreihen ist jedes zweite Glied 0?

Nöö. Wer hat denn das behauptet?

Zitat:

Original von eierkopf1
Oder nehme ich für die Taylorreihe nur jedes 2. Glied her?

Wiederum nöö. Wieso sollte man das tun?

Zitat:

Original von eierkopf1
Was ist mit "gib eine Formeldarstellung an" gemeint? Wie mache ich das?

Überlege, welchem Bildungsgesetz die Koeffizienten unterliegen. Betrachte dabei die Koeffizienten ab dem 3. Summanden. Und schreibe diese als Brüche. Das hilft, Schreibfehler (wie dem beim letzten Summanden) zu vermeiden.

01.09.2008, 10:51

eierkopf1

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Ich dachte bei der Taylorreihen ist jedes zweite Glied 0?

Nöö. Wer hat denn das behauptet?

Zitat:

Original von eierkopf1
Oder nehme ich für die Taylorreihe nur jedes 2. Glied her?

Wiederum nöö. Wieso sollte man das tun?

Ich dachte das so, weil ich bis jetzt nur für Sinus-Funktionen Taylorreihen entwickelt habe...

Aber was ist dann der Unterschied zwischen "normalen" Potenzreihen und Taylorreihen?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Was ist mit "gib eine Formeldarstellung an" gemeint? Wie mache ich das?

Überlege, welchem Bildungsgesetz die Koeffizienten unterliegen. Betrachte dabei die Koeffizienten ab dem 3. Summanden. Und schreibe diese als Brüche. Das hilft, Schreibfehler (wie dem beim letzten Summanden) zu vermeiden.

OK. Ich versuche es einmal. Unter dem Bruchstrich steht:
$\begin{eqnarray*} (n-1)! \end{eqnarray*}$

Oberhalb des Bruchstriches: Das Vorzeichen wechselt ab dem 3. Summanden ab. Die Zahl wird zuerst kleiner und dann immer größer. Aber diesen Wert könnte ich von der dazu passenden Ableitung holen.
so zB:
$\begin{eqnarray*} f^n(0) \end{eqnarray*}$

Zusammen steht dann:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=1}^\infty ~ \frac{f^n(0) }{(n-1)!} x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Ich habe keine Ahnung, ob das genau das ist, was gefragt ist?

mfg

01.09.2008, 11:20

klarsoweit

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RE: Taylorreihe
Eigentlich hast du da doch nur die Taylorrreihe für die Entwicklung um x=0 hingeschrieben, und das nicht einmal richtig. Es müßte heißen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty ~ \frac{f^n(0) }{n!} x^n \end{eqnarray*}$

Schreib doch mal die ersten 6 Koeffizienten hin (am besten als Bruch).

01.09.2008, 11:35

eierkopf1

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RE: Taylorreihe
Danke für die Antwort!

Zitat:

Original von klarsoweit
Eigentlich hast du da doch nur die Taylorrreihe für die Entwicklung um x=0 hingeschrieben, und das nicht einmal richtig. Es müßte heißen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty ~ \frac{f^n(0) }{n!} x^n \end{eqnarray*}$

Aber dann würde für den 1. Summanden 0 herauskommen, sollte aber 1...

Zitat:

Original von klarsoweit
Schreib doch mal die ersten 6 Koeffizienten hin (am besten als Bruch).

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} + \frac{1,5}{1} +\frac{0,75}{2} -\frac{0,375}{6} +\frac{0,525}{24} -\frac{1,40625}{120} \end{eqnarray*}$

So,oder? und wie komme ich jetzt auf die Formel? bzw. wie schaut diese Formel formal aus? Was kann ich damit berechnen?

mfg

01.09.2008, 12:09

klarsoweit

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von eierkopf1
Aber dann würde für den 1. Summanden 0 herauskommen, sollte aber 1...

Wieso?

verwirrt

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} + \frac{1,5}{1} +\frac{0,75}{2} -\frac{0,375}{6} +\frac{0,525}{24} -\frac{1,40625}{120} \end{eqnarray*}$

So,oder? und wie komme ich jetzt auf die Formel? bzw. wie schaut diese Formel formal aus? Was kann ich damit berechnen?

Das sollte eigentlich nur eine Aufzählung sein. Und bitte auch den Zähler als Bruch schreiben.

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01.09.2008, 13:00

eierkopf1

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Aber dann würde für den 1. Summanden 0 herauskommen, sollte aber 1...

Wieso?

verwirrt

Der 1. Summand ist 1. Wenn ich aber in diese Formel für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ einsetze, dann erhalte ich als Ergebnis auch 0. Verstehst du, was ich meine?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} + \frac{1,5}{1} +\frac{0,75}{2} -\frac{0,375}{6} +\frac{0,525}{24} -\frac{1,40625}{120} \end{eqnarray*}$

So,oder? und wie komme ich jetzt auf die Formel? bzw. wie schaut diese Formel formal aus? Was kann ich damit berechnen?

Das sollte eigentlich nur eine Aufzählung sein. Und bitte auch den Zähler als Bruch schreiben.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{1}}{1} + \frac{\frac{1,5}{1}}{1} +\frac{\frac{0,75}{1}}{2} -\frac{\frac{0,375}{1}}{6} +\frac{\frac{0,525}{1}}{24} -\frac{\frac{1,40625}{1}}{120} \end{eqnarray*}$

so OK? Wie gehts jetzt weiter?

mfg

01.09.2008, 13:45

klarsoweit

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von eierkopf1
Der 1. Summand ist 1. Wenn ich aber in diese Formel für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ einsetze, dann erhalte ich als Ergebnis auch 0. Verstehst du, was ich meine?

unglücklich

Wenn ich n=0 einsetze, dann steht da f(0). Und f(0) ist 1. Wo ist das Problem?

Zu dem anderen: Bitte auch 1,5 , 0,75 etc. als Bruch schreiben.

01.09.2008, 14:24

eierkopf1

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Der 1. Summand ist 1. Wenn ich aber in diese Formel für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ einsetze, dann erhalte ich als Ergebnis auch 0. Verstehst du, was ich meine?

unglücklich

Wenn ich n=0 einsetze, dann steht da f(0). Und f(0) ist 1. Wo ist das Problem?

Jetzt sehe ich meinen Fehler: Ich dachte $\begin{eqnarray*} 0!=0 \end{eqnarray*}$ . Doch dabei ist es 1. Hammer

Hammer

Dann ist es klar ;-)

Zitat:

Original von klarsoweit
Zu dem anderen: Bitte auch 1,5 , 0,75 etc. als Bruch schreiben.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{1}}{1} + \frac{\frac{3}{2}}{1} +\frac{\frac{3}{4}}{2} -\frac{\frac{0,375}{1}}{6} +\frac{\frac{0,525}{1}}{24} -\frac{\frac{1,40625}{1}}{120} \end{eqnarray*}$

So?

mfg

01.09.2008, 14:49

klarsoweit

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RE: Taylorreihe
Ja. Die anderen Brüche bitte auch. Und das Summenzeichen dazwischen ist unnötig. Es geht ja nur um eine Aufzählung.

Und übrigens: wenn 0!=0 wäre, gäbe es ein größeres Problem, da das im Nenner steht.

01.09.2008, 20:06

eierkopf1

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja. Die anderen Brüche bitte auch. Und das Summenzeichen dazwischen ist unnötig. Es geht ja nur um eine Aufzählung.

Und übrigens: wenn 0!=0 wäre, gäbe es ein größeres Problem, da das im Nenner steht.

Also reicht es so: Also wäre die Entwicklung der Taylorreihe um x=0 :

$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{ f^n(0)}{n!}x^n \end{eqnarray*}$

Oder welches Summenzeichen meinst du?

Zu den Brüchen.

Passt es so bzw. wie gehts jetzt weiter?

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{1}}{1} + \frac{\frac{3}{2}}{1} +\frac{\frac{3}{4}}{2} -\frac{\frac{3}{8}}{6} +\frac{\frac{21}{40}}{24} -\frac{\frac{45}{32}}{120} \end{eqnarray*}$

mfg

02.09.2008, 00:40

WebFritzi

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{ f^n(0)}{n!}x^n \end{eqnarray*}$

Oder welches Summenzeichen meinst du?

Das, was davor gehört. So stimmt es nicht.

$\begin{eqnarray*} f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{ f^{(n)}(0)}{n!}x^n. \end{eqnarray*}$

Stand eigentlich auch so schonmal in einem Beitrag von klarsoweit. Nur sollte man Klammern um den "Exponenten" machen, um klarzustellen, dass es sich um die n-te Ableitung und nicht um eine Potenz handelt.

02.09.2008, 08:41

eierkopf1

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{ f^n(0)}{n!}x^n \end{eqnarray*}$

Oder welches Summenzeichen meinst du?

Das, was davor gehört. So stimmt es nicht.

$\begin{eqnarray*} f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{ f^{(n)}(0)}{n!}x^n. \end{eqnarray*}$

Stand eigentlich auch so schonmal in einem Beitrag von klarsoweit. Nur sollte man Klammern um den "Exponenten" machen, um klarzustellen, dass es sich um die n-te Ableitung und nicht um eine Potenz handelt.

Danke für die Antworten!

Ok. Also mit dem Summenzeichen smile

smile

Nur wie geht es weiter? Was ist mit Formeldarstellung gemeint?

mfg

02.09.2008, 09:07

klarsoweit

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von eierkopf1
Passt es so bzw. wie gehts jetzt weiter?

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{1}}{1} + \frac{\frac{3}{2}}{1} +\frac{\frac{3}{4}}{2} -\frac{\frac{3}{8}}{6} +\frac{\frac{21}{40}}{24} -\frac{\frac{45}{32}}{120} \end{eqnarray*}$

Das hatte ich erwartet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{1}}{1}, \frac{\frac{3}{2}}{1}, \frac{\frac{3}{4}}{2}, -\frac{\frac{3}{8}}{6}, \frac{\frac{9}{16}}{24}, -\frac{\frac{45}{32}}{120} \end{eqnarray*}$

oder:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{1}}{0!}, \frac{\frac{3}{2}}{1!}, \frac{\frac{3}{2^2}}{2!}, -\frac{\frac{3 \cdot 1}{2^3}}{3!}, \frac{\frac{3 \cdot 1 \cdot 3}{2^4}}{4!}, -\frac{\frac{3 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5}{2^5}}{5!} \end{eqnarray*}$

Ab dem 4. Koeffizienten folgen diese einem relativ simplen Bildungsgesetz.

02.09.2008, 09:24

eierkopf1

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Passt es so bzw. wie gehts jetzt weiter?

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{1}}{1} + \frac{\frac{3}{2}}{1} +\frac{\frac{3}{4}}{2} -\frac{\frac{3}{8}}{6} +\frac{\frac{21}{40}}{24} -\frac{\frac{45}{32}}{120} \end{eqnarray*}$

Das hatte ich erwartet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{1}}{1}, \frac{\frac{3}{2}}{1}, \frac{\frac{3}{4}}{2}, -\frac{\frac{3}{8}}{6}, \frac{\frac{9}{16}}{24}, -\frac{\frac{45}{32}}{120} \end{eqnarray*}$

oder:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{1}}{0!}, \frac{\frac{3}{2}}{1!}, \frac{\frac{3}{2^2}}{2!}, -\frac{\frac{3 \cdot 1}{2^3}}{3!}, \frac{\frac{3 \cdot 1 \cdot 3}{2^4}}{4!}, -\frac{\frac{3 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5}{2^5}}{5!} \end{eqnarray*}$

Ab dem 4. Koeffizienten folgen diese einem relativ simplen Bildungsgesetz.

Danke für die Antwort!

Das hast du mit "Summenzeichen" gemeint Hammer

Hammer

Das nächste Glied wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2^6}}{6!} \end{eqnarray*}$

Und es stimmt mit den Werten, die ich mit der Ableitung gebildet habe, überein...

Jedoch wie gehts jetzt weiter?

Im obersten Zähler sehe ich eine arithmetische Folge, aber kA wie so eine Formeldarstellung aussieht. unglücklich

unglücklich

mfg

02.09.2008, 09:58

klarsoweit

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RE: Taylorreihe
Also eine arithmetische Folge ist da nicht, schließlich stehen da Faktoren und keine Summanden. Mit dem Produktzeichen ist zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = \prod_{k=1}^4~(2k-1) \end{eqnarray*}$

02.09.2008, 10:37

eierkopf1

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von klarsoweit
Also eine arithmetische Folge ist da nicht, schließlich stehen da Faktoren und keine Summanden. Mit dem Produktzeichen ist zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = \prod_{k=1}^4~(2k-1) \end{eqnarray*}$

Ja stimmt

Wie schreibt man jetzt diese Formeldarstellung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{3\cdot \prod_{n}^\infty~(2n-1)}{n!} \end{eqnarray*}$

So?

mfg

02.09.2008, 10:47

klarsoweit

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RE: Taylorreihe
Ich würde dies bevorzugen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-1)^n \cdot 3 \cdot \prod_{k=1}^n~(2k-1)}{n!} \end{eqnarray*}$

Du mußt aber nochmal genau prüfen, ab welchem Startwert das n läuft. Und dann fehlt noch die 2er-Potenz aus dem Nenner des Zählerbruchs sowie das x^n.
Prüfe dein Ergebnis mit wenigstens 3 Beispielen.

EDIT: Zähler verbessert.

02.09.2008, 11:42

eierkopf1

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RE: Taylorreihe

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich würde dies bevorzugen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-3)^n \cdot \prod_{k=1}^n~(2k-1)}{n!} \end{eqnarray*}$

Du mußt aber nochmal genau prüfen, ab welchem Startwert das n läuft. Und dann fehlt noch die 2er-Potenz aus dem Nenner des Zählerbruchs sowie das x^n.
Prüfe dein Ergebnis mit wenigstens 3 Beispielen.

So?

$\begin{eqnarray*} f(x)= \sum_{n=1}^\infty~\frac{\frac{3\cdot \prod_{k=1}^n~(2k-1)}{(-2)^{(n-1)}}}{(n-1)!} \cdot x^{(n-1)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt das Ergbnisprüfe:

$\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_4 =\frac{\frac{3\cdot 1 \cdot 3 \cdot 5\cdot 7}{-8}}{6} x^3 \end{eqnarray*}$

stimmt das 4. Glied nicht unglücklich

unglücklich

Der Fehler liegt beim Produktzeichen. Wie muss ich das ändern?

Außerdem stimmt es für die ersten drei Glieder auch nicht. unglücklich

unglücklich

mfg

02.09.2008, 12:29

klarsoweit

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RE: Taylorreihe
Ich hatte ja schon angedeutet, daß man erst ab n=3 eine passende Formel findet. Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{f^{(n)}}{n!}x^n = f(0) + f'(0) \cdot x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \sum_{n=3}^{\infty}~\frac{\frac{3}{(-2)^n} \cdot \prod_{k=1}^{n-2}~(2k-1)}{n!}x^n \end{eqnarray*}$

Das müßte es jetzt hoffentlich sein. Einen kleinen Fehler von mir habe ich im vorigen Beitrag noch korrigiert.

02.09.2008, 12:44

WebFritzi

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Die Summe kann man noch in die folgende Form bringen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^\infty \binom{2n-4}{n-2}\frac{12x^n}{n(n-1)\cdot 2^{2n}} = \sum_{k=2}^\infty \binom{2k-2}{k-1}\frac{3x^{k+1}}{k(k+1)\cdot 2^{2k}}. \end{eqnarray*}$

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