Körperaxiome

01.09.2008, 11:47

zwergnase

Körperaxiome

Hallo!

Ich habe ein paar Fragen zu einem elementaren Nachweise mit den Körperaxiomen. Ein paar Aufgaben habe ich schon selber zeigen können, nur bei diesen zweien weiß ich nicht wie es gehen soll. Könnte mir die vielleicht bitte jemand zeigen.
V ist ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in V, \lambda \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x = 0 \Leftrightarrow \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

01.09.2008, 12:27

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn schon bewiesen? Das kannst du ja dann hier anwenden.

Zur 1: Nehme $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ an und multipliziere die Gleichung von links mit $\begin{eqnarray*} \lambda^{-1} \end{eqnarray*}$ (Warum existiert dies?)

01.09.2008, 17:03

zwergnase

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tmo,

danke für deinen Tipp.
$\begin{eqnarray*} {\lambda}^{-1} \cdot \lambda \cdot x= {\lambda}^{-1}\cdot 0 \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ , folgt wegen Existenz des Inversen: $\begin{eqnarray*} 1 \cdot x = {\lambda}^{-1}\cdot 0 \end{eqnarray*}$ und nun wegen der Existenz des neutralen Elements: $\begin{eqnarray*} x = {\lambda}^{-1}\cdot 0 \end{eqnarray*}$
Aber hier denke ich fehlt mir noch eine Kleinigkeit, um zu folgern dass die Gleichung nur für x = 0 erfüllt ist.

Gruß Wink

01.09.2008, 17:09

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn schon $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ bewiesen?

01.09.2008, 18:05

zwergnase

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \lambda = (0 + 0)\cdot \lambda = 0\cdot \lambda + 0\cdot \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (0 \cdot \lambda + 0 \cdot \lambda) + (-0 \cdot \lambda) = 0 \cdot \lambda + (-0 \cdot \lambda) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 \cdot \lambda + (0 \cdot \lambda + (-0 \cdot \lambda)) = 0 \cdot \lambda + (-0 \cdot \lambda) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 \cdot \lambda + 0 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 \cdot \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

01.09.2008, 18:12

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zwergnase
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \lambda = (0 + 0)\cdot \lambda = 0\cdot \lambda + 0\cdot \lambda \end{eqnarray*}$

Wenn du die Eindeutigkeit des neutralen Elements zu Rate ziehst, kannst du übrigens hier schon aufhören.

Aber du begehst hier gerade den Fehler dich nicht zwischen Vektorraum und Körper zu entscheiden. Was denn nun?

01.09.2008, 19:14

zwergnase

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich habe es für ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in V \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ gezeigt, oder?

01.09.2008, 19:17

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst noch folgern, dass für $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \in V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Im Prinzip geht es genau so, wie du es da stehen hast, aber dass man den Vektor vor das Skalar schreibt, ist doch sehr ungewöhnlich. Ich würde in deinem Fall $\begin{eqnarray*} 0 \in K \end{eqnarray*}$ interpretieren.

01.09.2008, 20:30

zwergnase

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von zwergnase
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \lambda = (0 + 0)\cdot \lambda = 0\cdot \lambda + 0\cdot \lambda \end{eqnarray*}$

Wenn du die Eindeutigkeit des neutralen Elements zu Rate ziehst, kannst du übrigens hier schon aufhören. [...]

Eine Frage hierzu das kann ich nicht so recht nachvoll ziehen. Warum habe ich mit dem schon gezeigt das $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda \in V \end{eqnarray*}$ Was aber für die Aufgabenstellung falsch ist!

Gruß Wink

01.09.2008, 20:34

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zwergnase
$\begin{eqnarray*} 0 \cdot \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda \in V \end{eqnarray*}$

Zum letzten mal: das steht hier nicht zur Debatte. Es ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lambda\cdot\vec 0 = \vec 0, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec 0 \in V \end{eqnarray*}$ den Nullvektor darstelle. Bitte benutzt doch ab jetzt immer dieses Symbol für diesen, da sonst eine akkute Gefahr der Verwechslung mit der Null aus dem Körper besteht.

02.09.2008, 19:37

zwergnase

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabenstellung
Für $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \vec{x} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Stimmt Romaxx, für eine Beweis sind meine Gedanken irgendwie zu wirr, falls ich die noch mal geordnet bekomme melde ich mich hier wieder.

"<=" Fall: $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt,
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = 1 \cdot \vec{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \lambda \cdot \lambda^{-1} \vec{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \lambda^{-1} \cdot \underbrace{\lambda \cdot \vec{x}}_{nach Voraussetzung = 0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \lambda^{-1} \vec{0} = 0 \end{eqnarray*}$

Was man aber auch noch zeigen müsste und somit ist es nur eine Umformulierung von oben.

Mit $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\vec{0} \end{eqnarray*}$ folgt dann: $\begin{eqnarray*} \vec{0} = \lambda^{-1} \cdot \vec{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \vec{0} =\lambda \cdot \lambda^{-1} \cdot \vec{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \vec{0} =1 \cdot \vec{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \vec{0} + \lambda \cdot \vec{0} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Gruß Wink

02.09.2008, 23:09

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm das sieht sehr Wirr aus.
Wo sind die Äquivalenzpfeile zwischen den einzelnen Zeilen?
Bzw. wo zeigst du $\begin{eqnarray*} "\Rightarrow" \end{eqnarray*}$ und wo $\begin{eqnarray*} "\Leftarrow" \end{eqnarray*}$ ?

Du hast eine Äquivalenz zu zeigen.
Das macht man normalerweise in der Art, dass man zuerst die linke Seite der Äquivalenz als Voraussetzung nimmt und daraus die rechte Seite folgert und anschließend der Spieß rumdreht.

Außerdem scheint mir in deinem Beweis einiges schief zu laufen, wie ich meine.

Versuche es nocheinmal und schreibe ruhig mehr Text dazu. Gehe schrittweise vor.

03.09.2008, 02:12

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

@zwergnase

Nenne mir mal ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (*), für das $\begin{eqnarray*} \lambda \lambda^{-1} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt Augenzwinkern

(*) - Die Voraussetzung ist, dass $\begin{eqnarray*} \lambda^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert. Dies ist gesichert für $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

air

Neue Frage »

Antworten »

Körperaxiome

Verwandte Themen