primfaktorzerlegung

30.05.2006, 15:54

chrissi

primfaktorzerlegung

wie zeige ich dass das die primfaktorzerlegung des minimalpolynoms von dieser gestalt ist:

$\begin{eqnarray*} \mu C(T) =P1(T)*P2(T) \end{eqnarray*}$
mit irreduziblen P1,P2

habe das polynom schon berechnet und erhalte T^4-T^2+2

30.05.2006, 16:56

20_Cent

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welches Minimalpolynom, was ist C(T), soll das nicht als index beim mü stehen? Fragen über Fragen Augenzwinkern

mfG 20

30.05.2006, 16:58

chrissi

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ja sorry weiß net wie man das macht das C die 1 und 2 stehn unten

T^4-T^2+2 ist das minimalpolynom

wenn du brauchst ich kann die matrix auch noch posten

die matrix heißt C

30.05.2006, 17:00

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} \mu_{C(T)} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\mu_{C(T)}[/latex]

die anderen Fragen sind noch offen...
mfG 20

edit: ob dieses polynom irreduzibel ist (über Q,R,C oder was?) wirst du doch noch selber bestimmen können, oder nicht? oder geht es dir nur darum?

edit2: aaachso: du meinst

$\begin{eqnarray*} \mu_C(T)=P_1(T)\cdot P_2(T) \end{eqnarray*}$

also T als Variable, richtig? gehts denn um diese Spezielle Matrix, oder was allgemeines? Was ist dein Grundkörper?

30.05.2006, 17:03

chrissi

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ich solll zeigen dass das minimalpolynom von dieser oben genannten gestalt ist:
verstehe da eben nicht wie mans macht

30.05.2006, 17:10

chrissi

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hab mal die aufgabe als manhang dazu
dass dann auch alles drauf steht

30.05.2006, 17:11

20_Cent

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naja, dann zerlege dein MP in zwei Polynome (über Q), die müssten dann beide irreduzibel sein, dann bist du fertig.
mfG 20

30.05.2006, 17:14

JochenX

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Zwischenfrage, ich weiß nicht, ob das bei diesen Matrizenminimalpolynomen anders ist als bei denen von Körpererweiterungen....
Sollte das Minimalpolynom nicht bereits ein irreduzibles Polynom sein!?
geht es hier nicht eher um die Zerlegung des charakteristischen Polynoms!?

Oder spielt da eine Rolle, dass die Matrizenmultiplikation nicht nullteilerfrei ist?

30.05.2006, 17:27

20_Cent

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also unsere minimalpolynome (von matrizen, nur die hatten wir bis jetzt) sind nicht irreduzibel, soviel kann ich sagen.
mfG 20

30.05.2006, 17:34

chrissi

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@20

ich weiß nicht wie ich das polynom zerlege kann...
etwa so??

T^2 * (T^2-1)

ginge ja net da sie dann nicht irreduziebel sind aber find ich hier überhaupt ein zwei polynome die keine NST haben

30.05.2006, 17:58

JochenX

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Ja, das muss tatsächlich an der Nullteilereigenschaft liegen.
Aus A ist Nullstelle von f(X)*g(X) folgt hier eben NICHT, dass es Nullstelle eines der Teilerpolynome ist, vergleiche Körper!
Interessant!

@Chrissi:
schau erst, ob dein Polynom Nullstellen in Q hat, wenn ja, kannst du es erst mal zerlegen.
Wenn nein, dann kann es nur in zwei Polynome vom Grad 2 zerfallen.
Ein Ansatz $\begin{eqnarray*} ...=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \end{eqnarray*}$ sollte zum Erfolg führen.

edit: Tippfehler korrigiert
+ statt *

30.05.2006, 18:06

chrissi

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also nullstellen hat es in + - wurzel(2)

die sind nicht in Q also zerlege ich es
T^2+ 3T+1 uund T^2-T+1

geht das denn so?

hmm ne sorry das geht ja mal gar net hast du mir ne hilfe ich find da nix für

30.05.2006, 18:11

JochenX

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1) stimmen deine NSten falsch berechnet
2) deine Zerlegung macht keinen Sinn, multipliziere die mal miteinander, da kommt nicht dein Polynom raus.
Das konstante Glied des Produkts ist 1, das sieht man gleich.

edit zu deinem edit:
mach den Ansatz wie ich oben gesagt habe, danach Koeffizientenvergleich

EDIT:
wenn ich mich nicht verrechnet habe ist das oben angegebene Polynom über Q irreduzibel
Das aus dem Koeffizientenvergleich auftretende Gleichungssystem scheint unlösbar zu sein. Weitere Meinungen?

30.05.2006, 21:22

20_Cent

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Das Minimalpolynom ist falsch !!!!!!!!

Ich habe mal Derive bemüht: $\begin{eqnarray*} x^4-x^2-2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

dann stimmen auch deine nullstellen, also hast du dich oben wahrscheinlich nur vertippt... jochens ansatz führt übrigens auch zu einer lösung in Q.
mfG 20

30.05.2006, 21:29

JochenX

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Zitat:

jochens ansatz führt übrigens auch zu einer lösung in Q.

in was denn sonst? oder wie ist das auch zu verstehen? wir würdest du es denn machen?
naja, genaugenommen in Q[X]

zum Verschreiber: grml, ich rechne gerade zum DRITTEN mal diese Zerlegung, jetzt geht's wenigstens auf, aber etwas mehr Sorgfalt beim Posten wünscht man sich da doch

30.05.2006, 23:12

20_Cent

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so war das auch nicht gemeint Augenzwinkern

ich meinte nur, dass dein ansatz jetzt auch zu ner lösung führt, im gegensatz zu vorher... war einfach nur sehr schlecht ausgedrückt *g*

31.05.2006, 12:58

chrissi

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Zitat:

Ein Ansatz $\begin{eqnarray*} ...=(x^2+ax+b)(x^2*cx+d) \end{eqnarray*}$ sollte zum Erfolg führen.

sollte as nicht ein plus sein zwischen x^2 und cx???

31.05.2006, 13:51

Abakus

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Der Ansatz ist:

$\begin{eqnarray*} x^4 - x^2 - 2 \stackrel{!}{=} (x^2+ax+b) \cdot (x^2+cx+d) \end{eqnarray*}$

Ein anderer Ansatz wäre $\begin{eqnarray*} z := x^2 \end{eqnarray*}$ zu setzen, da hier eine biquadratische Gleichung vorliegt. Die resultierende Gleichung ist dann eine quadratische Gleichung (wenn du die Nullstellen kennst, kannst du die Faktorisierung hinschreiben).

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

31.05.2006, 14:03

chrissi

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also ich hab das jetzt mal so angefangen
ich habe die formel von deinem ansatz ausmultipliziert
und erhalte
$\begin{eqnarray*} x^4+fx^3+gx^2+dx^3+dfx^2+dgx+ex^2+efx+eg \end{eqnarray*}$
nochmal etwas umgestellt:
$\begin{eqnarray*} x^4+(f+d)x^3+(g+e+df)x^2+(dg+ef)x+eg \end{eqnarray*}$
die hab ich nun mit meinem minimalpolynom
$\begin{eqnarray*} x^4-x^2-2 \end{eqnarray*}$

so weiß ich nun dass

f+d=0
g+e+df=-1
dg+ef=0
eg=-2

is das dann richtig oder bin ch aufem holzweg?

31.05.2006, 14:34

JochenX

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Entschuldigung, das * sollte natürlich ein + sein, Tippfehler

wieso heißen in deinem Ansatz die Unbekannten plötzlich anders als bei mir? willst du uns verwirren!? das ist unproduktiv, und, im Zusammenhang auch falsch, wenn du nicht angibst, wie deine Polynome dann lauten!

unter der Annahme, die Polynome lauten
$\begin{eqnarray*} x^2+dx+e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2+fx+g \end{eqnarray*}$
ist dein Ansatz richtig.

Gesucht ist eine Lösung des Gleichungssystems in Q.
die erste und vierte Gleichung nach je einer Unbekannten umstellen ergibt ein Gleichungssystem nach 2 Unbekannten und das ist nicht schwer zu lösen.

31.05.2006, 14:37

chrissi

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ja sorry für die verwirrung ich mag keine a b und c
danke für di everbesserung

also ich werd nochmal versuchen wnen ich häge schreibe ich wie weit ihc kam

31.05.2006, 15:06

chrissi

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habe nuun umgestellt:

f=-d
und e=-2/g

und das f dann eingesetzt in die formel g+e+df =-1
ergibt
-d^2+g-2/g=-1

e eingesetzt in die formel dg+ef =0
ergbt:
d(g+2/g)=0

aber weiter kann ich nicht auflösen.... helf mir doch bin echt am aufgeben

31.05.2006, 15:13

JochenX

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d*(g+2/g)=0 kannst du ganz problemlos weiterbehandeln
dann muss nämlich entweder d=0 oder g+2/g=0 sein (Nullteilerfreiheit in Q!)

kannst beides probieren, wenn eines zum Erfolg führt bist du fertig.

zu Trainingszwecken empfehle ich dir mit dem Versuch g+2/g=0 anzufangen

31.05.2006, 15:19

chrissi

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ja ich habe auch schon d=0 raus und daraus folgt dann dass g= -2 und 1 ist
muss ich mich dann für einen wett entscheiden oder geht e für beide?

31.05.2006, 15:24

chrissi

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und die ergebnisse können ja schonmal net stimmen weil hinten für e*g -2 geben muss
und wenn g=0 dann stimmts nimmer

31.05.2006, 15:26

JochenX

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von g=0 hat auch keiner was gesagt. wie kommst du darauf?

a=c=0, d=1 und b=-2 passt doch, du darfst das selbst in deine Variablen umdeuten.

31.05.2006, 15:30

chrissi

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ja sorry ich habs auch raus oh man is das ien hick hack ich danke dir für deine geduld
Hammer

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