Kettenbruch

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30.05.2006, 16:02	.phiL	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenbruch wieder eine neue aufgabe: $\begin{eqnarray} x_{n} = \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1} {\displaystyle 1 + \frac{1} {\displaystyle 1 + \frac{1} {\displaystyle \ddots 1 + \frac{1}{1}}}}}} \end{eqnarray}$ wobei der ausdruck auf der rechten seite n mal + sein soll. präziser, die sequenz $\begin{eqnarray} [x_{n}]_{n=0}^\infty \end{eqnarray}$ ist definiert durch induktion $\begin{eqnarray} x_{0}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{n}=\frac{1}{1+x_{n-1}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ (a) Beweise: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\leq x_{n}\leq 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 0 \end{eqnarray}$ (b) Beweise: für alle $\begin{eqnarray} n,m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ das gilt $\begin{eqnarray} n \geq m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid x_{n}-x_{m}\mid \leq 2^{-m} \end{eqnarray}$ schließe hieraus das die sequenz { $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ }"cauchy" ist und somit konvergiert. (c)Werte $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} x_{n} \end{eqnarray}$ aus zu (a) ich hab mir mal den Bruch angeguckt $\begin{eqnarray} x_{n}=\frac{1}{1+x_{n-1}} \end{eqnarray}$ Das es nicht größer als 1 sein kann erkläre ich mir so, wenn wenn ich mir den Nenner $\begin{eqnarray} 1+x_{n-1} \end{eqnarray}$ angucke und n=1 wird wird ja $\begin{eqnarray} x_{1-1}=0 \end{eqnarray}$ , das bedeutet ja auch das quasi da steht $\begin{eqnarray} \frac {1}{1}=1 \end{eqnarray}$ . daraus folgt ja dann $\begin{eqnarray} x_{n}\leq 1 \end{eqnarray}$ Kann ich das so als Beweis aufschreiben? oder gibt es verbesserungsvorschläge? wenn das so ok ist muss ich ja nun zeigen das dieser bruch nie kleiner als $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ wird dafür hab ich mir angeguckt wie das aussieht wenn ich dieses n mal + machen würde aber nur das erste mal $\begin{eqnarray} x_{n}=\frac{1}{1+x_{n-1}} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ halt eingesetzt und da ja wie oben beschrieben $\begin{eqnarray} x_{n} \leq 1 \end{eqnarray}$ bedeutet das ja, $\begin{eqnarray} \frac {1}{1+b} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} 0\leq b \leq 1 \end{eqnarray}$ da der bruch $\begin{eqnarray} x_{n}=\frac{1}{1+x_{n-1}} \end{eqnarray}$ nicht negativ werden kann liegt ja $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ zwischen 1 und einhalb $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\leq x_{n}\leq 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 0 \end{eqnarray}$ was zu zeigen war. irgendwelche einwände? Danke für Hilfe
30.05.2006, 16:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenbruch (a) ist ja wohl einfach über Induktion möglich. Und (b) solltest du erstmal richtig hinschreiben, da steht nämlich nix...
30.05.2006, 16:44	.phiL	Auf diesen Beitrag antworten »
bin aus versehen auf neues thema erstellen gekommen beim schreiben... habs ja sofort editiert
01.06.2006, 00:20	.phiL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also a habe ich jetzt auch mit induktion bewiesen nur zu b fehlt mir bis jetzt jeglicher ansatz... ich soll die ungleichung beweisen und daraus folgt dann die cauchy-folge hab ich das richtig verstanden? bzw ist das korrekt?
01.06.2006, 09:24	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b): Du kannst zunächst $\begin{eqnarray} \|x_{k+1}-x_k\| \leq 2^{-k-1} \end{eqnarray}$ durch Vollständige Induktion nachweisen, indem du im Induktionsschluss $\begin{eqnarray} (k-1) \to k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x_{k+1}-x_k\| = \left\| \frac{1}{1+x_k}-\frac{1}{1+x_{k-1}} \right\| = \frac{\|x_k-x_{k-1}\|}{(1+x_k)(1+x_{k-1})} \leq \ldots \end{eqnarray}$ die Ungleichung (a) benutzt. Und für die Cauchy-Differenz verwende dann die Dreiecksungleichung gemäß $\begin{eqnarray} \|x_n-x_m\| \leq \sum\limits_{k=m}^{n-1} \|x_{k+1}-x_k\| \leq \ldots \end{eqnarray}$
01.06.2006, 16:31	.phiL	Auf diesen Beitrag antworten »
warum $\begin{eqnarray} \|x_{k+1}-x_k\| \leq 2^{-k-1} \end{eqnarray}$ ich meine m=k und n=k+1 warum muss ich dann $\begin{eqnarray} \leq 2^{-k-1} \end{eqnarray}$ also das -k leuchtet mir ein, aber warum das -1? kann nich nicht einfach $\begin{eqnarray} \|x_{k+1}-x_k\| \leq 2^{-k} \end{eqnarray}$ das so nehmen und dann eine Vollständige Induktion von $\begin{eqnarray} (k) \to (k+1) \end{eqnarray}$ oder ist beides richtig? Die Induktionsschritte leuchten mir ein nur wie ich darauf die Ungleichung anweden soll versteh ich nicht...ich mein das ganze soll ja kleiner als $\begin{eqnarray} 2^{-k-1} \end{eqnarray}$ meine idee wäre jetzt das nach deinem letzten schritt da steht das der ganze bruch kleiner als $\begin{eqnarray} 2^{-k-1} \end{eqnarray}$ ist, dann würde ich den Nenner "rüber bringen" und würde versuchen zu sehen ob sich das noch irgendwie raus kürzt, weil soll ja am ende stehen bleiben $\begin{eqnarray} \|x_{k}-x_{k-1}\leq 2^{-k-1} \end{eqnarray}$
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01.06.2006, 16:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grund für $\begin{eqnarray} 2^{-k-1} \end{eqnarray}$ steht in der letzten Zeile meines vorigen Beitrags: Da musst du noch eine geometrische Reihe aufsummieren...
01.06.2006, 16:51	.phiL	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt bin ich endgültig verwirrt, also beim selber rechnen deiner schritte mach ich entweder immer nen fehler oder du hast nen vorzeichenfehler... wenn ich die brüche gleichnamig mache durch multiplizieren steht bei mir immer (nenner mal nicht beachtet) $\begin{eqnarray} \|1(1+x_{k-1})-1(1+x_{n})\| \end{eqnarray}$ und wenn ich das berechne komme ich immer auf $\begin{eqnarray} \|x_{k-1}-x_{n}\| \end{eqnarray}$ oder hängt das mit den Betragsstrichen zusammen? wie gesagt ich wollte das jetzt wie du geschrieben hast gleichnamig machen etc und dann am ende eine ungleichung ablesen... kann ich das oder geht das nicht?
01.06.2006, 17:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} \|a\|=\|-a\| \end{eqnarray}$ für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , also auch $\begin{eqnarray} \|x_{k-1}-x_{k}\| = \|x_{k}-x_{k-1}\| \end{eqnarray}$ . Zur Vollendung des Induktionsschlusses brauchst du dann nur noch die aus (a) gewonnene Abschätzung $\begin{eqnarray} (1+x_k)(1+x_{k-1}) \geq \left(1+\frac{1}{2}\right)^2 \geq 2 \end{eqnarray}$ .
01.06.2006, 18:22	.phiL	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt natürlich, wie gesagt voll nen brett vorm kopp... und daraus folgt natürlich dann die beh. und daraus kann ich dann weiter schließen das es cauchy ist... super vielen dank

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