Austauschsatz

01.09.2008, 20:47

Romaxx

Austauschsatz

Hallo liebe Leser,

Ich habe ein Problem damit, einen Beweis in meinem Script zu verstehen und benötige deshalb eure Hilfe.

[attach]8547[/attach]

Ich verstehe den Beweis bis zu dem Punkt " Setze $\begin{eqnarray*} C_m+1 = C_m \end{eqnarray*}$ ..." (fünfte Zeile von unten), danach wird es ein wenig schwammig.
Was wird da genau gemacht?
Wieso ist $\begin{eqnarray*} x_{m+1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ enthalten? Allgemein fällt es mir schwer dem Beweis danach zu folgen.
Vielleicht fällt der Groschen, wenn mir jemand die Sache auf einem anderen Weg erklärt.

Gruß

01.09.2008, 21:49

WebFritzi

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Das ganze ist schon etwas blöde aufgeschrieben. Wir nennen das b, dessen Existenz im Induktionsschritt gezeigt wird, mal nicht b sondern $\begin{eqnarray*} \tilde b. \end{eqnarray*}$ Zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} \langle S_{m+1}\rangle = V, \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} S_{m+1} = (B\setminus C_{m+1})\cup T_{m+1}. \end{eqnarray*}$

Dazu sei $\begin{eqnarray*} v\in V. \end{eqnarray*}$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt

$\begin{eqnarray*} v &=& \sum_{i=1}^m \mu_i x_i + \sum_{b\in B\setminus C_m}\mu_b\,b\\ &=& \sum_{i=1}^m \mu_i x_i + \sum_{b\in B\setminus C_{m+1}}\mu_b\,b + \mu_{\tilde b}\,\tilde b. \end{eqnarray*}$

Weiter haben wir (siehe Beweis)

$\begin{eqnarray*} x_{m+1} &=& \sum_{i=1}^m \lambda_i x_i + \sum_{b\in B\setminus C_m}\lambda_b\,b\\ &=& \sum_{i=1}^m \lambda_i x_i + \sum_{b\in B\setminus C_{m+1}}\lambda_b\,b + \lambda_{\tilde b}\,\tilde b. \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \lambda_{\tilde b}\neq 0. \end{eqnarray*}$ Stelle nun die zweite Formel nach $\begin{eqnarray*} \tilde b \end{eqnarray*}$ um und setze in die erste ein.

02.09.2008, 01:03

Romaxx

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Zitat:

Original von WebFritzi
Das ganze ist schon etwas blöde aufgeschrieben. Wir nennen das b, dessen Existenz im Induktionsschritt gezeigt wird, mal nicht b sondern $\begin{eqnarray*} \tilde b. \end{eqnarray*}$ Zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} \langle S_{m+1}\rangle = V, \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} S_{m+1} = (B\setminus C_{m+1})\cup T_{m+1}. \end{eqnarray*}$

Dazu sei $\begin{eqnarray*} v\in V. \end{eqnarray*}$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt

$\begin{eqnarray*} v &=& \sum_{i=1}^m \mu_i x_i + \sum_{b\in B\setminus C_m}\mu_b\,b\\ &=& \sum_{i=1}^m \mu_i x_i + \sum_{b\in B\setminus C_{m+1}}\mu_b\,b + \mu_{\tilde b}\,\tilde b. \end{eqnarray*}$

Weiter haben wir (siehe Beweis)

$\begin{eqnarray*} x_{m+1} &=& \sum_{i=1}^m \lambda_i x_i + \sum_{b\in B\setminus C_m}\lambda_b\,b\\ &=& \sum_{i=1}^m \lambda_i x_i + \sum_{b\in B\setminus C_{m+1}}\lambda_b\,b + \lambda_{\tilde b}\,\tilde b. \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \lambda_{\tilde b}\neq 0. \end{eqnarray*}$ Stelle nun die zweite Formel nach $\begin{eqnarray*} \tilde b \end{eqnarray*}$ um und setze in die erste ein.

Ersteinmal vielen Dank für die Mühe.
Es hat sicherlich einiges an Zeit gekostet, das abzutippen.
Ich denke ich habe es nun verstanden.
Der Trick der ganzen Sache dabei ist, durch Umformung nach $\begin{eqnarray*} S_{m+1} \end{eqnarray*}$ gleichzeitig zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \langle S_{m+1}\rangle = V \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} v =\sum_{i=1}^m \underbrace{(\mu_i -\frac{\mu_{\tilde b}\lambda_i}{\lambda_{\tilde b}})}_{\omega_i} x_i + \underbrace{\frac{\mu_{\tilde b}}{\lambda_{\tilde b}}}_{\omega_{m+1}} x_{m+1} \sum_{b\in B\setminus C_{m+1}}\underbrace{(\mu_b - \frac{\mu_{\tilde b}\lambda_b}{\lambda_{\tilde b}})}_{\omega_b} \,b=\sum_{i=1}^{m+1}\omega_i x_i + \sum_{b\in B\setminus C_{m+1}}\omega_b \,b \in \langle S_{m+1}\rangle \end{eqnarray*}$

Gruß

02.09.2008, 01:07

WebFritzi

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