Rätsel kurve

22.05.2004, 20:11

Guevara

Rätsel kurve

(x^(0,001)-x^(-0,001))/(t^(0,001)-t^(-0,001))

Wenn man als t zum Beispiel 2 oder 10 oder e nimmt, bekommt man eine bekannte kurve zu sehen.
Welche kurve und warum?

22.05.2004, 22:54

think

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RE: Rätsel kurve
Hi, also ich hab mir den Term gerade mal plotten lassen und was raus kommt, ist die Logarithmus-funktion. Die muss evtl. irgendwie so definiert sein, aber das weiß ich nicht genau.
Und die Zahlen 2,10, und e machen auch Sinn
e = Logarithmus Naturalis zur Basis e
10 = Logarithmuss zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus)
2 = dualer (???, weiß nicht, obs den gibt) Logarithmus zur Basis 2,

aber warum das so ist, muss vielleicht mal einer nachschlagen, der sich mit dem Logarithmus genauer auskennt. mfg think

23.05.2004, 00:00

Leopold

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Genau, es ist der Logarithmus! Na ja - fast. Und ich weiß auch warum.

23.05.2004, 12:10

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von Leopold
Und ich weiß auch warum.

Na dann halts mal nicht länger hinterm Berg. Würde
mich auch interessieren.

Könntest du bitte mal diesen Thread
überfliegen, ob das alles so richtig ist ?

Viele Grüße vom BraiNFroST Wink

23.05.2004, 12:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Genau, es ist der Logarithmus! Na ja - fast. Und ich weiß auch warum.

Tja, warum...? Würde ich auch gerne mal wissen. Also rück mal raus. Ich würde übrigens weiter tippen, dass die Funktion wenigstens punktweise gegen den Logarithmus konvergiert, wenn man q gegen Null gehen lässt (q soll der Wert sein, der beim Guevara 0.001 war).

23.05.2004, 15:08

Guevara

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Wenn man statt 0,001 0,0000001 nimmt kommt die Kurve dem Logarithmus noch näher.

Ein Tipp: Achtet mal auf die ableitungsregeln von Exponenetialfunktionen.

23.05.2004, 16:47

Leopold

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Genau!

Betrachten wir nämlich für festes x>0 die folgende Funktion in Abhängigkeit von s:

$\begin{align*} f(s) = x^s \end{align*}$ .

Sie hat die Ableitung

$\begin{align*} f'(s) = x^s \cdot ln \ x \end{align*}$ .

Speziell gilt

$\begin{align*} f'(0) = ln \ x \end{align*}$

Die Ableitung ist der Limes des Differenzenquotienten:

$\begin{align*} ln \ x \ = \ f'(0) \ = \ \lim_{s \to 0} \frac{x^s-1}{s} \end{align*}$

Und mit diesen Vorbereitungen geht es los (es müssen x,t>0 sein, zusätzlich darf t nicht 1 sein):

$\begin{align*} \lim_{s \to 0} \frac{x^s - x^{-s}}{t^s - t^{-s}} \ = \ \lim_{s \to 0} \frac{x^{-s}$x^{2s}-1$}{t^{-s}$t^{2s}-1$} \ = \ \lim_{s \to 0} \frac{x^{2s}-1}{t^{2s}-1} \ = \ \lim_{s \to 0} \frac{\frac{x^{2s}-1}{2s}}{\frac{t^{2s}-1}{2s}} \end{align*}$
$\begin{align*} = \ \frac{\lim_{s \to 0} \frac{x^{2s}-1}{2s}}{\lim_{s \to 0} \frac{t^{2s}-1}{2s}} \ = \ \frac{ln \ x}{ln \ t} \ = \ log_t \ x \end{align*}$

Und wenn man nun für s eine spezielle Zahl nahe 0 wählt (z.B. s=0,001), dann erhält man einen Näherungswert für $\begin{align*} log_t \ x \end{align*}$ .

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