Vektorbestimmung

02.09.2008, 03:20

commander731

Vektorbestimmung

Hallo,

ich hätt zur späten Stund mal eine Frage.. ;-)

und zwar lautet die Aufgabenstellung:

Bestimme 2 Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} , \vec{b} \end{eqnarray*}$ € R³ mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} X \vec{b} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1,2 \\ -0,4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
------------------

Da das Kreuzprodukt der Normalenvektor von Vektor a und b ist, dürfte die Ebenengleichung in Koordinatenform lauten:

E: 1,2x-0,4y+z=0

Dann hab ich mir 3 Punkte durch Einsetzen gesucht, die dann zu einer Ebengleichung in Parameterform gemacht..

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ -6,8 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2,8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind dann die beiden Richtungsvektoren dann die gesuchten Vektoren? Oder ist sowieso alles falsch?

Wäre dankbar für Hilfe :-)

02.09.2008, 04:24

WebFritzi

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RE: Vektorbestimmung

Zitat:

Original von commander731
Sind dann die beiden Richtungsvektoren dann die gesuchten Vektoren?

Wie wär's, wenn du einfach mal selber rechnest und die Probe machst?

02.09.2008, 13:07

Leopold

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Du bist schon auf dem richtigen Weg. Um WebFritzis Tip noch zu ergänzen, beachte, daß das Kreuzprodukt nur einen von unendlich vielen möglichen Normalenvektoren liefert. Worin unterscheiden sich denn diese Normalenvektoren? Was ist also zu erwarten, wenn du jetzt wie vorgeschlagen die Probe machst?

02.09.2008, 13:54

commander731

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Ja okay, wenn ich aus den beiden Richtungsverktoren wieder einen Normalenverktor bilde (einen von unendlich vielen), erhalte ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10,8 \\ -3,6 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das wäre somit bloß das 9-Fache vom ursprünglichen Kreuzprodukt bzw. Normalenvektor?

Und das Ergebnis dieses Rechenvorgangs kann man nunmehr also als Probe dafür ansehen, dass meine beiden Richtungsverktoren eine von vielen möglichen Lösungen darstellt?
Wie drückt man das dann eben nochmal aus, dass es noch unendlich weitere gibt?

02.09.2008, 14:02

Leopold

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Deine Aufgabe lautet ja, zwei Vektoren so zu bestimmen, daß ...
Warum änderst du die beiden Vektoren nicht einfach so ab, daß sich ein Neuntel des bei der Probe herausgekommenen Vektors ergibt? Denke an Eigenschaften des Vektorproduktes.

02.09.2008, 14:27

commander731

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Ja gut, es muss halt das geforderte Vektorprodukt rauskommen..

Ich verstehe aber nicht, wie ich die beiden Vektoren so abändern könnte, dass aus Ihnen das geforderte Ergebnis resultiert. Sie beide um das 9-fache zu verkleinern, hilft schonmal nicht :/

02.09.2008, 14:33

Leopold

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Aber den einen neunteln und den anderen beibehalten ...
Oder beide dritteln ...

Beachte die Verträglichkeit des Vektorproduktes mit der skalaren Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} \left( \lambda \vec{a} \right) \times \vec{b} = \lambda \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Und ebenso

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \left( \lambda \vec{b} \right) = \lambda \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

02.09.2008, 14:45

commander731

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Ich bin aber auch ein Vollspaten...

Viele Dank für die Hilfe, jetzt ist mir alles sonnenklar.

02.09.2008, 14:49

Leopold

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Zitat:

Original von commander731
Ich bin aber auch ein Vollspaten...

Was'n det?
Als Mathematiker kenne ich einen Spat, auch ein Spatprodukt. Aber einen Vollspaten? verwirrt