Ableitung einer LN Funktion

30.05.2006, 23:35

rwm

Ableitung einer LN Funktion

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit der Kurvendiskussion von LN Funktionen. Was mir hierbei Probleme bereit ist das Ableiten.

Ich weiss zum Beispiel, dass von $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x) \end{eqnarray*}$ die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=1/x \end{eqnarray*}$ ist, oder von $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^2) \end{eqnarray*}$ die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=2/x \end{eqnarray*}$ . Auch mit gebrochen Rationalen ln Funktionen komm ich einigermassen klar.

Wo es happert sind Funktionen wie $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^2+1/x) \end{eqnarray*}$ Ich habe da nicht mal einen Lösungsansatz für. Es wäre auch nett wenn man mir kurz das Ableiten von ln Funktionen kurz erläutern könnte. Von den ersten beiden Funktionen kann ich nur die Ableitung weil ich die Lösung im Gedächtnis habe.

30.05.2006, 23:39

Lazarus

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Allgemein leitet man eine logarithmusfunktion so ab:
u sei eine Funktion in x
$\begin{eqnarray*} f(x)&=&\ln\left(u\right)\\f'(x)&=&\frac{u'}{u} \end{eqnarray*}$

mit anderen worten, du packst erstmal den ganzen Kram aus dem Argument in den Nenner, unverändert so wie bei der kettenregel halt üblich, und differenzierst dann im zähler nochmal nach.

30.05.2006, 23:40

marci_

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du musst die innere ableitung beachten..du kannst auch hier im board suchen, wurde bereits ausführlich behandelt...

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x²) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x²} * 2x= \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ ist hierbei die innere ableitung...

30.05.2006, 23:41

Poff

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RE: Ableitung einer LN Funktion
Ich würde dir da den Roboter Maple empfehlen, der löst das per
Tastendruck und wenn du 2x drückst hast sogar die 2.Ableitung Augenzwinkern

Fehlerrate NULL%

alles andere ist vergeudete Energie

30.05.2006, 23:52

bounce

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@ Poff nur sowas hat man in der Schule nicht zur Verfügung ^^

@rvm ja wie schon marci erwähnt hat innere Ableitung

also wie sieht das denn aus bei dieser Funktion ?
$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^2+1/x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x}} \cdot (...) \end{eqnarray*}$

wie lautet dann die innere Ableitung von (.....) ^^

mfg bounce

31.05.2006, 02:13

rwm

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Zitat:

Original von marci_
du musst die innere ableitung beachten..du kannst auch hier im board suchen, wurde bereits ausführlich behandelt...

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x²) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x²} * 2x= \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ ist hierbei die innere ableitung...

Und woher kommt das $\begin{eqnarray*} 1/x² \end{eqnarray*}$ verwirrt

P.S. Wie setze ich die Klammer damit ich einen Bruchstrich statt dem / bekomme ?

31.05.2006, 08:09

Chris2005

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wie oben erwähnt, $\begin{eqnarray*} (ln(u))'= \frac{u'}{u} \end{eqnarray*}$

den bruchstrich erhältst du mit dem latex befehl \frac{zähler}{nenner}

mfg chris

31.05.2006, 10:15

bounce

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@ rvm

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x) \end{eqnarray*}$

so und du weißt ja das die erste Ableitung davon ist $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

naja und das schreibst du erstmal so hin wie ich auch geschrieben habe und dann leitest du das innere einfach ab und das wird $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ genommen

jetzt verständlicher ?

mfg bounce

31.05.2006, 12:44

rwm

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Zitat:

Original von Chris2005
wie oben erwähnt, $\begin{eqnarray*} (ln(u))'= \frac{u'}{u} \end{eqnarray*}$

den bruchstrich erhältst du mit dem latex befehl \frac{zähler}{nenner}

mfg chris

Also wenn ich das nach dem $\begin{eqnarray*} \frac{u'}{u} \end{eqnarray*}$ machen würde, hätte ich bei $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x}{x^2} \end{eqnarray*}$ raus.
Mich verwirrt das mit der inneren Ableitung, weil ich nie darauf gekommen wäre eine Kettenregel bei einer ln Funktion anzuwenden. Die Klammern kannte ich vorher garnicht.

31.05.2006, 12:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von rwm
Mich verwirrt das mit der inneren Ableitung, weil ich nie darauf gekommen wäre eine Kettenregel bei einer ln Funktion anzuwenden.

Warum nicht? Bei verschachtelten Funktionen braucht man immer die Kettenregel. Ob $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x^2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} g(x) = ln(x^2) \end{eqnarray*}$ , da muß die Kettenregel her. Es sei denn, man formt geeignet um, was beim ln möglich ist: $\begin{eqnarray*} g(x) = ln(x^2) = 2 \cdot ln(x) \end{eqnarray*}$

31.05.2006, 13:03

rwm

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Ok, stimmt. Bei E-Funktionen tu ich dies eigentlich schon ohne es zu merken.

Was mir allerdings immer noch unklar ist, ist die 1 bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ . Woraus leitet die sich den ab ? Wenn 1 = u' ist müsste es nicht 2x heissen ?

Die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x^2) \end{eqnarray*}$

31.05.2006, 13:09

Chris2005

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du musst 1 durch den ausdruck in dem logarithmus rechnen und das ergebnis mit der ableitung des ausdrucks im logarithmus multiplizieren (marci_ hat schon die richtige lösung vorgestellt)

mfg chris

31.05.2006, 15:27

bounce

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@rvm du kannst das noch vereinfachen aber siehe post von marci ^^

mfg bounce

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Ableitung einer LN Funktion

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