Achtung: Wurzelfunktion!

22.05.2004, 21:19

Havana

Achtung: Wurzelfunktion!

Gegeben ist folgende Wurzelfunktion $\begin{align*} f(x) = \sqrt{-4x^2+40} \end{align*}$

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f
Untersuchen Sie f auf einfache Symmetrie
Berechnen Sie den Schnittpunkt Sy und die Schnittpunkte mit g(x)=2, S1 und S2
Die vom Graphaen von fu und der Geraden g(x)=2 eingeschlossende Fläche A rotiert um die x-Achse und erzeugt das Rotationsvolumen V. Berechnen Sie die Maßzahl von V

So lautet die Aufgabenstellung, nur leider hab ich keine Ahnung wie ich eine Wurzelfunktion bearbeiten soll. Also bitte helft mir, möglichst leicht verständlich.
*verzweifel*

Danke
Gruß Raphael

22.05.2004, 22:00

m00xi

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RE: Achtung: Wurzelfunktion!

Zitat:

Original von Havana
Gegeben ist folgende Wurzelfunktion $\begin{align*} f(x) = \sqrt{-4x^2+40} \end{align*}$

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich von f
Untersuchen Sie f auf einfache Symmetrie
Berechnen Sie den Schnittpunkt Sy und die Schnittpunkte mit g(x)=2, S1 und S2
Die vom Graphaen von fu und der Geraden g(x)=2 eingeschlossende Fläche A rotiert um die x-Achse und erzeugt das Rotationsvolumen V. Berechnen Sie die Maßzahl von V

So lautet die Aufgabenstellung, nur leider hab ich keine Ahnung wie ich eine Wurzelfunktion bearbeiten soll. Also bitte helft mir, möglichst leicht verständlich.
*verzweifel*

Danke
Gruß Raphael

Fang doch mal fröhlich bei Aufgabe 1 an.
Wenn da eine Wurzel steht, dann sollte es bei dir bimmeln, da die Wurzel einer negativen Zahl nicht definert ist ( mit i wollen wir hier ja mal gar nicht arbeiten ). Daher muss gelten
$\begin{align*} 4x^2\leq 40 \Rightarrow x^2\leq 10 \end{align*}$
Da lässt sich doch schonmal ein ordentlicher Definitionsbereich herleiten, oder?

Weiter geht's
Aufgabe 2 ist auch kein Problem: Symmetrie? Ja, und zwar Achsnesymmetrie. Warum? Weil durch x^2 das vorzeichen von x irrelevant wird.

Für Aufgabe 3:
Um den Schnittpunkt mit der Y-Achse zu bekommen musst du den Term mit 0 gleichsetzen:
$\begin{align*} \sqrt{-4x^2+40}=0 \Rightarrow x^2=10 \Rightarrow x=+-\sqrt{10} \end{align*}$

Für den Schnittpunkt mit g(x)=2 musst du allesm it 2 Gleichsetzen:
Wenn du umformst, erhältst du 3 und -3:
$\begin{align*} -4x^2+40=4 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=+-3 \end{align*}$

S1 und S2 sagt mir nichts, genauso wie der Begriff rotationsvolumen.

Ich hoffe, das Bisherige hat dir geholfen.

Gruß
Hanno

22.05.2004, 22:52

BraiNFrosT

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RE: Achtung: Wurzelfunktion!

Zitat:

Original von m00xi
Für Aufgabe 3:
Um den Schnittpunkt mit der Y-Achse zu bekommen musst du den Term mit 0 gleichsetzen:
$\begin{align*} \sqrt{-4x^2+40}=0 \Rightarrow x^2=10 \Rightarrow x=+-\sqrt{10} \end{align*}$

Bin sicher du hast die X-Achse gemeint : )

Für den Schnittpunkt Sy muss 0 in die Funktion eingesetzt
werden => f(0) = ?
S1 und S2 hat m00xi schon angegeben.

Für das Rotationsvolumen (um die x-achse) gilt :

$\begin{align*} V^{+3}_{-3}=2\pi\Bigint_{0}^3~((g(x)-f(x))^2~dx \end{align*}$

Bye

22.05.2004, 23:12

m00xi

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Ohje, kannst ud mir das ein wenig näher erläutern, was du da für ein Integralgewurschtel gemacht hast? Bin auf dem Gebiet noch nicht so fit.

Gruß
Hanno

22.05.2004, 23:20

BraiNFrosT

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Naja ob ich das erklären kann ? Sollte eine Hilfe für
Raphael sein.

Also die Grenzen sind ja in diesem Fall die Schnittpunkte -3 und 3
Also berechnet man das Volumen von -3 - 3 das sind die
ominösen Zahlen an dem V : )

Hast du dir den Workshop Integralrechnung angesehen ?
Man fängt ja an die Fläche unter der Funktion in kleine Rechtecke zu spalten.
Je kleiner man den Abstand macht, desto genauer wird die Fläche.
Beim Volumen nimmt man die Rechtecke (bzw beim Integral sind es dann ja
unendlich kleine Striche) als Radius! Man berechnet also die Fläche von
ganz vielen Kreisen.
Für die Fläche beim Kreis gilt ja A = pi * r²
(Mir fällt gerade ein Fehler auf, herje ....)

Daher gilt dann für das Volumen um die X Achse :
$\begin{align*} V =\pi\Bigint_{b}^a~(f(x))^2~dx \end{align*}$

Hat das geholfen ?

23.05.2004, 00:43

Tets

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RE: Achtung: Wurzelfunktion!

Zitat:

Original von BraiNFrosT
Für das Rotationsvolumen (um die x-achse) gilt :

$\begin{align*} V^{+3}_{-3}=2\pi\Bigint_{0}^3~((g(x)-f(x))^2~dx \end{align*}$

Wirklich ? Das würde erklären warum ich da immer die falschen Ergebnisse bekomm Augenzwinkern

ich bitte um Aufklärung, gehören $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ oder nur $\begin{align*} \pi \end{align*}$ ? ? Entschuldigung wenn die Frage dumm klingt aber die Formel steht nicht in meiner Formelsammlung

danke und Entschuldigung für die dumme Frage ...

23.05.2004, 09:51

BraiNFrosT

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Entweder pi * integral von -3 bis 3
oder aber, wegen der Achsensymmetrie,
2 * pi * integral von 0 - 3

23.05.2004, 09:56

m00xi

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Hiho.
Und was bringt dir das Rotationsvolumen??

Gruß
Hanno

23.05.2004, 10:02

BraiNFrosT

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Es ist eine Methode um Volumen von Körpern zu bestimmen, die
nicht unbedingt eckig sind, z.B. von einem Fass oder von einem
Kühlturm.

23.05.2004, 10:06

m00xi

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Ahh, ich lasse meinen Gedanken mal freien Lauf.
In meinem Binärdenken komme ich auf die IDee, mir das ganze als Spline vorzustellen, der um 360 grad um die X-Achse rotiert wird, sodass ein 3 Dimensionales OBjekt entsteht. Das volumen dieses Objektes wird dadurch berechnet.

EDIT:
aber warum du dann beim Integral 0 und 3 als Integrationsgerenzen nimmst, verstehe ich nicht recht, genau genommen wäre es doch $\begin{align*} \sqrt{30} \end{align*}$ , oder? Gut, das wäre dann also das Rotationsvolumen, aber von der konstanten funktion $\begin{align*} g(x)=2 \end{align*}$ sehe ich da nicht viel.

Bin kurz davor, aber ganz kapiert hab ichs noch nich

Gruß
Hanno

23.05.2004, 10:16

BraiNFrosT

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Zitat:

Original von m00xi
der um 360 grad um die X-Achse rotiert wird, sodass ein 3 Dimensionales OBjekt entsteht. Das volumen dieses Objektes wird dadurch berechnet.

Ja, genau. Dann war meine Erklärung ja wirklich nicht toll. Das war das
erste was du dir vorstellen solltest : )

Zitat:

Original von m00xi
aber warum du dann beim Integral 0 und 3 als Integrationsgerenzen nimmst, verstehe ich nicht recht, genau genommen wäre es doch $\begin{align*} \sqrt{30} \end{align*}$ , oder? Gut, das wäre dann also das Rotationsvolumen, aber von der konstanten funktion $\begin{align*} g(x)=2 \end{align*}$ sehe ich da nicht viel.

Wo hast du denn die $\begin{align*} \sqrt{30} \end{align*}$ her ?
Die Grenzen sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, denn
dazwischen ist ja die Fläche eingeschlossen.
Allerdings bin ich mir jetzt nicht mehr sicher ob es heissen muss
(g(x)-f(x))² oder (g(x))²-(f(x))² Mist ....

23.05.2004, 10:26

m00xi

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Hiho.
Ich verstehe nicht wieso du g(x)-f(x) und nicht f(x)-g(x), f(x) ist doch ständig größer als g(x).
Des weiteren würde ich keine deiner beiden Möglihckeiten nehmen:
Du sagtest, dass die Rechtecke die Radien sind. Die Rechtecke sind das Produkt aus Wert und dx, somit würde ich das Integral:
$\begin{align*} V^{+3}_{-3}=\pi\Bigint_{-3}^3~(((f(x)-g(x))~dx)^2 \end{align*}$
vorziehen, rein aus meinem naiven Gefühl heraus.
Damit würdest du nämlich die richtige Strecke messen, die zum Rechteck machen durch Multiplikation mit dx und dann quadrieren.

EDIT: oh ,jetzt habe ich deine Erklärung erst richtig verstanden.
Dann MUSS es heißen:
$\begin{align*} V^{+3}_{-3}=\pi\Bigint_{-3}^3~(f(x)-g(x))^2~dx \end{align*}$

Gruß und DANK
Hanno

23.05.2004, 10:31

BraiNFrosT

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Ja f(x)-g(x) ist besser. Da hast du recht. Schon wieder so ein blöder
Fehler von mir, man man man. Aber wenn ich recht informiert bin
klappts auch andersherum beim Rotationsvolumen.

Das dx gibt an nach welcher Variablen integriert wird. Das gehört nicht
mit in die Klammer und dementsprechend auch nicht quadriert.

EDIT:

$\begin{align*} V^{+3}_{-3}=\pi\Bigint_{-3}^3~(f(x)-g(x))^2~dx \end{align*}$
wegen der Achssymmetrie gilt

$\begin{align*} V^{+3}_{-3}=2\pi\Bigint_{0}^3~(f(x)-g(x))^2~dx \end{align*}$

Mit einer Null als Grenze lässt sichs oft besser arbeiten : )

23.05.2004, 10:35

m00xi

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Hiho.
Also mal wieder ein praktischer Schub Augenzwinkern

Wenn man das zum Berechnen von Volumen irgendwelcher exotischen Gebäude braucht, heißt das ja eigenltich, dass diese Gebäude nach einem Polynom gebaut wurden. Stimmt das wirklich? wenn ein Architekt ein GEbäude entwirft, was n bissel geschwungen is, nimmt er dann als Vorlage ein (Interpolations)Polynom? Würde mich ja sehr wundern, aber es bringt eben viele Vorteile mit sich ?!

Gruß
Hanno

23.05.2004, 10:40

BraiNFrosT

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Nene, der Architekt entwirft wie er lustig ist : )
Wenn du dann das Volumen per Integration bestimmen
willst musst die zuerst die (Rand)Funktion bestimmen. Aber ich
glaube in dem Fall löst man das anders. Vielleicht finde ich
noch ein gute Beispiel in meiner Mathe Mappe. Das schick ich
dir dann, aber nun geh ich erstmal frühstücken *g*

23.05.2004, 10:41

m00xi

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Schade, ich dachte schon, da hätte ich endlich mal eine sinnvolle praktische Anwendung für den ganzen Kurvenkram gefunden smile

Aber schick mir gern mal was über diese Randfunktion, was auch immer das ist.
Meine E-Mail ist [email protected]

Gruß und Dank
Hanno

23.05.2004, 21:22

Havana

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RE: Achtung: Wurzelfunktion!
Danke erst mal an alle!

Aber ich weiß immer noch nicht wie ich den Definitionsbereich dieser
Funktion $\begin{align*} (f(x)= \sqrt{-4x^2+40}) \end{align*}$ hinschreiben soll. Kommt der Intervalle in den Definitionsbereich rein???

23.05.2004, 21:44

m00xi

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Der Definitionsbereich deiner Funktion ist $\begin{align*} \[-\sqrt{10};\sqrt{10}\] \end{align*}$ , wie ich dir in meinem ersten Thread vorgerechnet habe. Wo liegt das Problem?

Gruß
Hanno

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