Declaration von Problemen

31.05.2006, 10:28

brunsi

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Declaration von Problemen

Nur mal ein paar ganz bescheuerte Fragen, da man mir andauernd versucht einzutrichtern, dass aus der Stetigkeit die Differenzierbarkeit folgt.

Ich meine:

1. aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit
2. Bei Abschnittsweise definierten Funktionen muss ich doch jedes mal den Limes für x gegen 0 untersuchen muss oder??
3. würde es dabei auch ausreichen die Funktione infach zu differenzieren ohne dabei den Limes zu bilden???

Vielleicht hat sich die angegende Person, die promoviert einfach nur dabei vertan??

Bitte um schnelle hilfe, damit ich das noch mal bei meinen Nachhilfe-Pupils korrekt darstellen kann.

Hab denen nämlich zuerst gesagt, dass aus der Differenzierbarkeit dei Stetigkeit folgt, doch dann hat mir das jmd. der seinen Dr. in Mathematik macht, genau anderes herum erzählt, weshalb ich das dann auch bei meinen Nachhilfeschülern noch mal so erzählt habe, doch überzeugt davon war ich nciht.

31.05.2006, 10:34

derkoch

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EDIT: sorry ich habe da etwas verdreht!! Forum Kloppe

Forum Kloppe

traurig

habe gerade in alten unterlagen nachgeschaut:
eine funktion die differenzierbar ist, ist stetig, jedoch nicht umgekehrt!

31.05.2006, 10:36

brunsi

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und was ist denn mit diesem wikipedia-auszug??

http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit
[/url]
[url=http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit]
edit1: ok, aus der Stetigkeit kann die Differenzierbarkeit folgen: http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

31.05.2006, 10:43

ArminTempsarian

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Was ist mit Betragsfunktion. Die ist doch in 0 stetig, aber nicht diff.bar.

Ich würde also sagen. Stetigkeit ist notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für Diff.barkeit.

31.05.2006, 10:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von derkoch
soweit ich weiß, folgt aus der Stetigkeit automatisch die differenzierbarkeit.
Umgekehrt aus der differenzierbarkeit nicht die stetigkeit!

verwirrt

Es gilt immer noch:
Aus Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit. Und nur in dieser Richtung. Beispiele wurden hier schon zuhauf gepostet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.05.2006, 10:50

brunsi

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also stimmt denn nun mein Punkt 1. ??? weil langsam verwirrt mich das ganze doch etwas, zumal du dich da auch wiedersprochen hast @derkoch??!!

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31.05.2006, 10:52

derkoch

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von derkoch
soweit ich weiß, folgt aus der Stetigkeit automatisch die differenzierbarkeit.
Umgekehrt aus der differenzierbarkeit nicht die stetigkeit!

verwirrt

Es gilt immer noch:
Aus Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit. Und nur in dieser Richtung. Beispiele wurden hier schon zuhauf gepostet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke schön. smile

smile

hatte da was verdreht! hab's verbessert!

31.05.2006, 10:53

derkoch

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Zitat:

Original von brunsi
also stimmt denn nun mein Punkt 1. ??? weil langsam verwirrt mich das ganze doch etwas, zumal du dich da auch wiedersprochen hast @derkoch??!!

ja 1) stimmt!
hab's verbessert, in der schnelle verdrehe ich schon mal was! smile

smile

31.05.2006, 10:56

brunsi

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OK; DANN Muss ich noch mal heute was richtig stellen, bei meinen Nachhilfeschülern und werde wohl nie wieder einer Doktorandin Glauben schenken. traurig

traurig

31.05.2006, 11:03

Leopold

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Zitat:

Original von brunsi
aus der Stetigkeit kann die Differenzierbarkeit folgen

Nein. So stimmt das nicht.
Was du sagen willst, ist, daß eine stetige Funktion differenzierbar sein kann. Klar kann sie das. Das Wort "folgen" in diesem Zusammenhang ist jedoch falsch.

Vielleicht hilft auch dieser Anhang.

Im übrigen finde ich in keinem der Wikipedia-Artikel eine Aussage, die deine erste These stützt.

31.05.2006, 11:14

brunsi

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also wenn Funktionen Stetig sind, dann sind sie auch differenzierbar??!! das würde ja aus deinem Anhang folgen.

wikipedia sagt aber nun im Artikel Stetigkeit:

Stetige Funktionen sind nicht notwendig differenzierbar

31.05.2006, 11:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von brunsi
also wenn Funktionen Stetig sind, dann sind sie auch differenzierbar??!!

Nein!!! Stetige Funktionen können differenzierbar sein, müssen es aber nicht.

31.05.2006, 11:32

brunsi

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dann ist mein Punkt 1 richtig???

muss ich das denn trotzdem noch die Stetigkeit prüfen, wenn ich die Differenzierbarkeit geprüft habe?? Es handelt sich um abscnittsweise definierte Funktionen.

31.05.2006, 11:52

Leopold

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Zitat:

Original von brunsi
also wenn Funktionen Stetig sind, dann sind sie auch differenzierbar??!! das würde ja aus deinem Anhang folgen.

Nein. Das steht da nirgendwo.
Die Stetigkeit ist eine notwendige Voraussetzung für die Differenzierbarkeit, eben weil aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt.

Ich glaube, du hast da noch Probleme mit der Logik.

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \Rightarrow \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$

Das kann folgendermaßen ausgedrückt werden:

Aus $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ ist hinreichend für $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ist notwendig für $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ .

Alle vier Sätze besagen dasselbe. Und jetzt nimm

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} = \mbox{"f ist bei} \ x_0 \ \mbox{differenzierbar"} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} = \mbox{"f ist bei} \ x_0 \ \mbox{stetig"} \end{eqnarray*}$

Gut kann man sich die logischen Zusammenhänge auch bei Teilbarkeitsaussagen klarmachen. Betrachte die folgenden Aussagen über den natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} = \mbox{"} n \ \mbox{ist durch 12 teilbar"} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} = \mbox{"} n \ \mbox{ist durch 4 teilbar"} \end{eqnarray*}$

31.05.2006, 12:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von brunsi
dann ist mein Punkt 1 richtig???

Ja.

Zitat:

Original von brunsi
muss ich das denn trotzdem noch die Stetigkeit prüfen, wenn ich die Differenzierbarkeit geprüft habe?? Es handelt sich um abscnittsweise definierte Funktionen.

Im Prinzip, nein. Überall, wo die Funktion differenzierbar ist, ist die Funktion auch stetig. Das gilt auch für die Abschnittsgrenzen.

Sollte bei deiner "Prüfung auf Differenzierbarkeit" rauskommen, daß die Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar ist, müßtest du dort die Stetigkeit separat prüfen.

31.05.2006, 13:19

brunsi

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vielen Dank euch allen. Mein Vertrauen in die Dozenten ist nu erst einmal hin, denn die falsche aussage hatte mich total verwirrt.

P.S.: Wann ist das nächste Matheboard-Treffen und wo???

31.05.2006, 13:24

Leopold

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Ich habe ehrlich gesagt den Verdacht, daß die Dozentin das schon richtig erklärt hat, du das aber falsch verstanden hast ...

Zum besseren Verständnis habe ich einmal meine ganze Pädagogenmacht zusammengenommen:

Im Haus der Stetigkeit befindet sich die Wohnung der Differenzierbarkeit.

1.
Wenn man sich in der Wohnung der Differenzierbarkeit befindet - wie auch immer man dahin gekommen sein mag -, dann befindet man sich automatisch auch im Haus der Stetigkeit.

2.
Um in die Wohnung der Differenzierbarkeit zu gelangen, kann man den Außeneingang benutzen, wenn man in Form etwa von Regeln wie Summenregel, Quotientenregel, Kettenregel oder durch direkte Berechnung mit dem Differenzenquotienten einen Schlüssel hat, der einem die Außentür öffnet.
Es kann aber gelegentlich bequemer sein, den Inneneingang zu benützen, also erst das Haus der Stetigkeit zu betreten, um von da aus in die Wohnung der Differenzierbarkeit zu gelangen.
Von Letzterem handelt meine Zusammenstellung im angegebenen Link.

31.05.2006, 13:49

AD

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@Leopold

Halleluja! Gibt's auch noch einen Bibelspruch als Zugabe? smile

smile

31.05.2006, 13:58

brunsi

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jau, ist ne coole graphik, durch das visualisieren ist es nun total klar, wie man was zu tun hat. thanks a lot.

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