Gleichungen kontrolle

02.09.2008, 12:04

NewWarrior

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Gleichungen kontrolle

Hi,

habe folgende Aufgaben wie folgt gerechnet und wollte fragen ob einer von euch die kontrollieren könnte ob ich da alles richtig gemacht habe:

Nr. 1
a) 8(x + 3) + 7(x + 2) = 5x + 6(x + 1)
8x + 24 + 7x + 14 = 5x + 6x +6
15x + 38 = 11x + 6
4x = -32
X = -8
b) 8/3(6x – 9/2) – 3/2(8x + 1/3) = 4x -1/2 – 4/5(10x – 5/8) +3 ½
16x -12 – 12x - 0,5 = 4x – 0,5 - 8x – 0,5 – 3,5
4x – 12,5 = -4x – 4,5
8x = 8
X =8
c) 2(x – 1)(x - 4) = 4x + 2(x – 2)(x – 3)
2(x^2 - 4x – x -4) = 4x + 2(x^2 -3x -2x -6)
2x^2 – 10x – 8 = 4x + 2x^2 – 10x – 12
4 = -4x
x = -1

Nr. 2

a) (x + 9)(x + 7) = 0
X^2 + 7x + 9x + 63 = 0
x(x + 16) = -63
x 1 = 0
x2 = -79
b) x^2 – 7x = -6
x(x -7) = -6
x1 = 0
x2 = 1

c) 8x^2 - 10 = -2x
X^2 – 1,25 = - 0,25x
X(x+0,25) =1,25
X1 = 0
X2 = 1

Danke für eure Hilfe

02.09.2008, 12:17

Jacques

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Hallo,

Bei 1b) ist ein Vorzeichenfehler:

$\begin{eqnarray*} - \frac{4}{5} \cdot (10x - \frac{5}{8}) = -8x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

(Du hast -1/2)

Es gilt: "minus mal minus ist plus"!

Der Fehler ist ebenfalls bei c):

$\begin{eqnarray*} (x - 1)(x - 4) = x^2 - 4x - x + 4 \end{eqnarray*}$

(Du hast -4)

Dasselbe bei der rechten Klammer

Die Aufgaben bei 2 sind vom Prinzip her nicht richtig berechnet.

Z. B.

$\begin{eqnarray*} x(x + 16) = -63 \end{eqnarray*}$

kann man sicher nicht lösen zu

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0\qquad x_2= -79 \end{eqnarray*}$

Du musst die Methode der quadratischen Ergänzung oder eine der Lösungsformeln benutzen.

Das mit der Ausklammern nach diesem Schema funktioniert nur, wenn auf der rechten Seite 0 steht!

02.09.2008, 12:24

Q-fLaDeN

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Du kannst deine Ergebnisse auch prüfen, indem du sie in die Ausgangsgleichung einsetzt.

02.09.2008, 12:34

NewWarrior

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so habe jetzt 2 a nochmal gemacht:

a) (x + 9)(x + 7) = 0
X^2 + 16x + 63 = 0
x^2 + 16x +64 = 1
(x + 8)^2 = 1
X + 8 = 1
X = -7

wäre das so richtig?

02.09.2008, 12:42

Jacques

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Fast richtig:

$\begin{eqnarray*} (x + 8)^2 = 1 \ \Longleftrightarrow\ x + 8 = +\sqrt{1} \ \vee\ x + 8 = -\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

(sonst ignorierst Du ja die negative Lösung)

Übrigens hätte man die Lösungen direkt aus der Ausgangsgleichung ablesen können: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

02.09.2008, 13:30

NewWarrior

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Ich brauche nochmal deine Hilfe, ich komme bei drei Aufgaben nicht weiter:

8x^2 - 10 = -2x
8x^2 - 10 -2x = 0
x^2 - 1,25 + 0,25x = 0
?

x^2 - 7x = -6
x^2 - 7x + 12,25 = 6,25
?

$\begin{eqnarray*} \frac{x + 7}{13 - 3x} = \frac{1 + 7x}{13x - 3} \end{eqnarray*}$

?

Danke für deine Hilfe

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02.09.2008, 13:37

Jacques

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Zur ersten Aufgabe:

Wenn Du -2x auf die linke Seite "bringst", dann natürlich durch Addition von 2x:

$\begin{eqnarray*} 8x^2 - 10 = -2x \ \Longleftrightarrow\ 8x^2 - 10 + 2x = 0 \end{eqnarray*}$

Wende anschließend die Methode der quadratischen Ergänzung an:

$\begin{eqnarray*} a^2 + bx \end{eqnarray*}$

ist der Ausgangsterm. Man addiert

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{b}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$

und kann damit den Term zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} a^2 + bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 = \left(a + \frac{b}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Aufgabe hast Du alles richtig gemacht, Du musst nur noch die "Termzusammenfassung" machen -- dafür ist die quadratische Ergänzung ja gerade da.

Zur dritten Aufgabe:

Wie "entfernt" man allgemein Brüche in Gleichungen, z. B. bei

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x} = 13 \end{eqnarray*}$

?

// Noch ein Tipp: Schreibe die Zahlen lieber sauber als Brüche, nicht als "Kommazahlen".

02.09.2008, 13:49

NewWarrior

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also ich habe die erste nochmal gerechntet und komme jetzt auf komische zahlen:

8x^2 - 10 = -2x
8x^2 - 10 + 2x = 0
x^2 - 1,25 + 0,25x = 0
X^2 + 0,25x +0,390625 = 1,340625
(x + 0,25)^2 = 1,25
X + 0,25 = 1,118033989
X = 0,868033988

und b ist nicht lös bar:

b) x^2 – 7x = -6
x2 – 7x + 12,25 = 6,25
(x – 7)^2 = - 6

Müsste ja die Wurzel ziehen geht aber nicht bei einem negativen ergebnis oder?

und bei der letzten aufgabe :

d) X + 7 / 13 – 3x = 1 + 7x / 13x – 3
7 / 10 = 8 / 10
1 / 10 = 0

weil man ja die x kürzen kann oder nicht?

02.09.2008, 14:05

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von NewWarrior
also ich habe die erste nochmal gerechntet und komme jetzt auf komische zahlen:

8x^2 - 10 = -2x
8x^2 - 10 + 2x = 0
x^2 - 1,25 + 0,25x = 0
X^2 + 0,25x +0,390625 = 1,340625
(x + 0,25)^2 = 1,25
X + 0,25 = 1,118033989
X = 0,868033988

Komplett falsch unglücklich

unglücklich

Nutze doch einfach die Lösungsformel und fertig.

Zitat:

Original von NewWarrior
und b ist nicht lös bar:

b) x^2 – 7x = -6
x2 – 7x + 12,25 = 6,25
(x – 7)^2 = - 6

Müsste ja die Wurzel ziehen geht aber nicht bei einem negativen ergebnis oder?

Oh doch, sie ist lösbar. Auch hier kannst du die Lösungsformel verwenden.

Zitat:

Original von NewWarrior
und bei der letzten aufgabe :

d) X + 7 / 13 – 3x = 1 + 7x / 13x – 3
7 / 10 = 8 / 10
1 / 10 = 0

weil man ja die x kürzen kann oder nicht?

"Summen kürzen nur die dummen". Mit dem Hauptnenner mal nehmen lautet des Rätsels Lösung. Du siehst ja, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} = 0 \end{eqnarray*}$ nicht stimmt/nicht stimmen kann.

02.09.2008, 14:11

NewWarrior

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was ist die Lösungsformel?

02.09.2008, 14:22

Q-fLaDeN

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Ihr bearbeitet quadratische Gleichungen und habt die Lösungsformeln noch nicht kennengelernt?!

Wenn $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ ist, dann lauten die reellen Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

Oder bei Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2+px+q \end{eqnarray*}$ lauten die Lösungen

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Wenn du sie wirklich noch nicht kennst, dann benutze erstmal weiterhin die Methode der quadratischen Ergänzung. Aber schreibe die ganzen Kommazahlen, Ergänzungen usw. als Brüche, nicht als Dezimalzahlen!

02.09.2008, 14:24

NewWarrior

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achso du meinst die pq Formel.
Jetzt weiß ich was du meinst ! LOL Hammer

LOL Hammer

02.09.2008, 14:32

NewWarrior

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so habe jetzt die zwei Aufgaben nochmal mit der pq formel gelöst:

b) x^2 – 7x = -6
x^2 – 7x +6 = 0
x12 = 3,5 +- 2,5
x1 = 6
x2 = 1

c) 8x^2 - 10 = -2x
8x^2 - 10 + 2x = 0
x^2 - 1,25 + 0,25x = 0
X12 = - 1/64 +- 1 1/8
X1 = - 1 9/64
X2= 1 7/64

aber die aufgabe mit den brüchen bekomme ich immer noch nicht gelöst.

02.09.2008, 14:55

Jacques

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b) ist richtig, c) müsstest Du nochmal rechnen. Du hast z. B. p/2 mit -(1/64) angegeben, obwohl -(1/8) richtig wäre.

Zitat:

Original von NewWarrior
aber die aufgabe mit den brüchen bekomme ich immer noch nicht gelöst.

Ja. Wie würdest Du denn bei der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x} = 4 \end{eqnarray*}$

vorgehen? Q-fLaDeN hat Dir oben schon einen Tipp gegeben.

02.09.2008, 17:03

NewWarrior

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ich würde x multiplizieren und durch 4 teilen

02.09.2008, 17:09

Jacques

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Richtig.

Freude

Wobei für das "Entfernen" des Bruches nur die Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner relevant ist.

Also man "entfernt" einen Bruch, indem man die Gleichung mit dem Nenner multipliziert. Gibt es mehrere Brüche, dann multipliziert man einfach mit dem Produkt aller Nenner. (wobei das kgV der Nenner ausreicht).

Wie würdest Du die Bruchgleichung von oben dann umformen?

02.09.2008, 17:15

NewWarrior

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würde sie erst mal 13-3 und mal x nehmen

02.09.2008, 17:27

Jacques

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Die Gleichung lautet ja

$\begin{eqnarray*} \frac{x + 7}{13 - 3x} = \frac{1 + 7x}{13x - 3} \end{eqnarray*}$

Wenn Du mit 13 - 3x multiplizierst, fällt der linke Bruch weg -- das stimmt also! Für das Entfernen des rechten Bruches hingegen ist nicht x geeignet.

02.09.2008, 17:34

NewWarrior

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Zitat:

Original von Jacques
Die Gleichung lautet ja

$\begin{eqnarray*} \frac{x + 7}{13 - 3x} = \frac{1 + 7x}{13x - 3} \end{eqnarray*}$

Wenn Du mit 13 - 3x multiplizierst, fällt der linke Bruch weg -- das stimmt also! Für das Entfernen des rechten Bruches hingegen ist nicht x geeignet.

den natürlich mal 13x - 3

02.09.2008, 17:49

Jacques

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Genau. Wobei Du auch gleich mit dem Produkt (13 - 3x)(13x - 3) multiplizieren kannst.

Übrigens sollte man bei Gleichungen, in denen die Variable in irgendeinem Nenner vorkommt, die Definitionsmenge bestimmen. Also die Menge aller (reellen) Zahlen, bei denen nirgendwo ein undefinierter Ausdruck entsteht (z. B. Division durch 0).

Denn ansonsten bekommt man u. U. "Scheinlösungen".

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