Herleitung der Bernoulliformel

31.05.2006, 14:36

Mathephobikerin

Herleitung der Bernoulliformel

Hallo ihr Stochastiker!

Danke für die Tipps gestern, jaja ich über schon die ganze Zeit so ne Aufgaben, aber irgendwann sind alle gelöst und man selbst noch immer leicht ratlos.

Heute such ich was, damit ich bei meinem Mathelehrer so richtig punkten kann und es vielleicht ausgleichen kann, dass ich sonst nix verstanden habe:

Die Herleitung der Bernoulliformel!!

Weiß das jemand? ALso so eine Erklärung dafür wieso man das alles malnehmen muss und was das Gegenereignis da soll und so.

Vielleicht hat ja jemand eine Erklärung, die auch für mich intensiv und eingängig verständlcih ist.

Danke Mathephobikerin

(der Countdown läuft:noch 8 Tage bis zum mündlichen...)

31.05.2006, 15:54

bil

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RE: Herleitung der Bernoulliformel

Zitat:

Original von Mathephobikerin
Weiß das jemand? ALso so eine Erklärung dafür wieso man das alles malnehmen muss und was das Gegenereignis da soll und so.

also das verstehe ich nicht ganz. willst du eine herleitung zu dieser formel:

$\begin{eqnarray*} P(X=k)={n\choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

? bevor ich nämlich darauf antworte sollte die frage geklärt sein Augenzwinkern

gruss bil

31.05.2006, 16:56

Mathephobikerin

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Oh Ja diese gruselige Formel ist es.

So eile zur Hilfe- du Stochastiker!

Sie besteht aus sovielen Teilen, da weiß man gar nicht wo man anfangen soll.

Danke Mathephobikerin

(Der Countdown läuft: noch 8 Tage bis zum mündlichen)

31.05.2006, 18:07

bil

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ok...
bevor ich probiere dir die herleitung zu erklären, werden wir erstmal eine bsp aufgabe durchrechnen. wir werfen einen würfel 4 mal, wie gross ist die wahrscheinlichkeit 2 sechsen zu werfen?
das könnte man mit der binomialverteilung lösen, aber ich will die lösung "per hand" gerechnet haben Augenzwinkern

(baumdiagramm geht auch).

wenn du die aufgabe nämlich per hand gerechnet hast, wirst du sehr schnell die binomialverteilung bzw. die herleitung verstehen. aber wenn du diese aufgabe nicht lösen kannst, sollten wir erstmal das regeln bevor du die herleitung verstehen willst...

gruss bil

31.05.2006, 18:35

Mathephobikerin

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wie rechnet man denn das ohne Baumdiagramm?

Also mein Baumdiagramm zeigt an, dass die Wahrscheinlichkeit bei 4 Würfen genau 2 Sechsen zu würfeln bei 0,1157 liegt.

31.05.2006, 18:52

bil

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Zitat:

Original von Mathephobikerin
wie rechnet man denn das ohne Baumdiagramm?

mit der binomialverteilung Augenzwinkern

Zitat:

Also mein Baumdiagramm zeigt an, dass die Wahrscheinlichkeit bei 4 Würfen genau 2 Sechsen zu würfeln bei 0,1157 liegt.

ok, das passt schonmal, aber poste mal den genauen rechenweg. du wirst doch die einzelnen äste addiert haben und diese summe sollst du posten Augenzwinkern

gruss bil

31.05.2006, 19:04

Mathephobikerin

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ok ich hatte 6 Pfade, die sich aus 2mal Ereignis und 2mal Gegenereignis zusammensetzten mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit von 0,0193
bestehend aus 1/6 x 1/6 x 1/5 x 1/5

31.05.2006, 19:25

hodgesaargh

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4 würfe, 2 sechsen, wenn ich mich nicht völlig irre, kann man das eben nicht so machen, dass man einfach die wahrscheinlichkeiten und gegenwahrscheinlichkeiten multipliziert (was ihr anscheinend gemacht habt, wie ich eurem ergebnis entnehme), sondern es kommt ja eben noch der binomialkoeffizient ins spiel. es gibt (4 über 2)=6 möglichkeiten, auf das ergebnis zu kommen, also noch *6=0,116

edit: sehe gerade, ich sollte mal ein paar mehr posts lesen als nur den allerletzten...

31.05.2006, 21:07

bil

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Zitat:

edit: sehe gerade, ich sollte mal ein paar mehr posts lesen als nur den allerletzten...

richtig

Zitat:

Original von Mathephobikerin
ok ich hatte 6 Pfade, die sich aus 2mal Ereignis und 2mal Gegenereignis zusammensetzten mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit von 0,0193
bestehend aus 1/6 x 1/6 x 1/5 x 1/5

auch richtig Augenzwinkern

. also ganz exakt sieht es ja so aus(das meinte ich übrigens mit "per hand"):

$\begin{eqnarray*} P(X=2)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6} \end{eqnarray*}$

das können wir jetzt zusammenfassen, nämlich so:

$\begin{eqnarray*} P(X=2)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2 \end{eqnarray*}$

und da du insgesamt 6 pfade hattest bzw. es 6 terme sind, können wir es noch weiter zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} P(X=2)=6\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2=0.1157 \end{eqnarray*}$

und genau das ist die binomialverteilung/formel von bernoulli:

$\begin{eqnarray*} P(X=k)={n\choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

(siehst du die ähnlichkeit?)
die anzahl der pfade bekommen wir über den binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} {n\choose k} \end{eqnarray*}$ . p ist die wahrscheinlichkeit von erfolg, in unserem fall ist erfolg=wurf einer sechs, (1-p) ist die wahrscheinlichkeit von nicht erfolg=keine sechs. n steht für die länge des experiment(anzahl der würfe), also n=4. und k steht für die gesuchte wahrscheinlichkeit der erfolge. unsere frage war 2 mal sechs => k=2.
damit haben wir jetzt alle parameter der formel, nämlich:
n=4, p=1/6, (1-p)=5/6 , k=2.

einsetzen ergibt:

$\begin{eqnarray*} P(X=2)={4\choose 2}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2=6\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2=0.1157 \end{eqnarray*}$

wie du siehst ist es genau die gleiche rechnung/lösung wie unsere rechnung "per hand". und genau darum geht es in der formel von bernoulli, statt immer ein baumdiagramm zu zeichnen,kann man gleich die anzahl der pfade per binomialkoeffizient ausrechnen und ist damit natürlich viel schneller unterwegs.

das ist jetzt schon ansich die herleitung. 2 sachen könnten aber noch unklar sein von der formel und zwar:

1) $\begin{eqnarray*} p^k\cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

das dieser teil immer stimmt kannst du dir ziemlich gut klar machen in dem du die wahrscheinlichkeit 0 sechsen, 1 sechs, 3 sechsen und 4 sechsen (P(X=0),P(X=1),P(X=3) und P(X=4) nochmal per hand ausrechnest und dann mit der binomialverteilung vergleichst.damit solltest du ansich das system erkennen.

2) $\begin{eqnarray*} {n\choose k} \end{eqnarray*}$

das der binomialkoeffizient genau die anzahl der pfade ergibt ist schon etwas komplizierter aber auch nicht wirklich schwer. dazu empfehle ich dir den link über den binomialkoeffizienten durchzulesen.

und mehr steckt ansich nicht hinter der binomialverteilung Augenzwinkern

zu empfehlen ist natürlich auch noch der link:
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

wenn noch etwas unklar ist, kannst ja fragen...

gruss bil

01.06.2006, 09:17

Mathephobikerin

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Du bist ja ein Knüller!

Ich habs gecheckt.
Und das will schon was heißen.
Danke.

Einfach nett!

Danke.

Mathephobikerin

(Der Countdown läuft: jetzt in einer Woche stehe ich wahrscheinlich schon schweißgebadet vor einer Tafel, die Vektorenrechnung hinter und die Stochastik vor mir)

05.05.2007, 23:50

Summerdream

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Hey!
Ich habe auch nochmal eine Frage dazu Augenzwinkern

und zwar, was ist genau damit gemeint, wenn man nicht auf idie Reihenfolge achtet?
Kann mir das vielleicht nochmal jemand kurz erklären??
Und was hat man dann zu viel, so dass man nochmal durch k!
teilt?

13.11.2007, 11:24

Gast3463

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Ich muss einfach mal danke dafür sagen, super gemacht bil!

30.12.2007, 16:09

axel

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Spricht man bei der WR von Reihenfolge, so meint man, dass z.B. beim Lotto spielen
(1, 2, 3, 4, 5, 6)
das gleiche ist wie
(2, 4, 3, 6, 1, 5)

Es kommt also nur darauf an, dass die Zahlen gezogen werde - nicht in welcher Reihenfolge dies geschieht.

08.06.2010, 20:40

my303

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kann man statt deiner formel auch diese hier verwenden?

$\begin{eqnarray*} P(X=k)={M\choose k}\cdot {N-M\choose n-k}\cdot {N\choose n}^{-1} \end{eqnarray*}$

ich hab diese in der schule gelernt, aber weiß nicht, wie ich die jetzt auf den sachverhalt anweden kann.

ich weiß nicht, für was N und M stehen. k ist die Anzahl der zu würfelnden sechsen (2) und n ist die Anzahl an zu würfelnden Würfen (4).

In einem beispielt aus der schule, hatten wir den sachverhalt, wo in einer urne 7 kugeln liegen, 3 davon sind rot. wir sollen 4 kugeln ziehen. mit welcher warscheinlichkeit werden
a) 1 rote und 3 weiße
b) 2 rote und 2 weiße
c) nur rote und 1 weiße
kugel gezogen werden.
Hier ist gilt dann ja:
N = 7
M = 3
n = 4
ka=1; kb=2 und kc=3

wie kann deine formel von oben jetzt auf meine übertragen ?

09.06.2010, 09:30

BarneyG.

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Hallo,

vielleicht ist es dir entgangen ... aber "bil" hat sein Antwort im Jahr 2006 verfasst also vor VIER Jahren ... da gab`s dann vor drei Jahren noch mal ein Nachgemurmel ... aber, ob die Aktivisten von damals diesen Thread noch verfolgen, da bin ich mir nicht so ganz sicher ... Big Laugh

Die im Thread verwendete Formel bezieht sich auf die Binomialverteilung. Da "ziehen" wir MIT Zurücklegen und ohne Reihenfolge. Und weil wir zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit eines "Treffers" bei jedem Zug immer gleich.

Die von dir genannte Formel bezieht sich auf die hypergeometrische Verteilung. Da wird aus einer Urne gezogen, die N Kugeln beinhaltet, davon sind M Gewinne und N-M Nieten. Wir ziehen n Kugeln OHNE Zurücklegen und ohne Reihenfolge. Da wir nicht zurücklegen ändert sich die Wahrscheinlichkeit einen Gewinn bzw. eine Niete zu ziehen nach jedem Zug. Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit beim n-maligem Ziehen ohne Zurücklegen nun genau k Gewinne zu erhalten beantwortet die von dir genannte Formel.

Zitat:

wie kann deine formel von oben jetzt auf meine übertragen ?

Gar nicht! Beide Formel beschreiben ganz unterschiedliche Sachverhalte. Welche Formel du anwenden musst, hängst von der Aufgabenstellung ab. Wie wird denn in den von dir angeführten Aufgaben a) - c) gezogen? Richtig! OHNE Zurücklegen. Und deshalb musst du deine Formel anwenden ... und die Formel für die Binomialverteilung ist hier vollkommen irrelevant.

Grüße

17.04.2012, 22:18

hande

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RE: Herleitung der Bernoulliformel
Ich werde nächste woche woche meine GFS über die Bernoulliformel halten, meine Aufgabe ist es eben diese Formel herzuleiten. Ich habe diesen Artikel mehrmals durchgelesen, verstehe den rechenschritt ab 1/6*1/6*5/6*5/6+.......... nicht kann das bitte nochmals jemand ganz leicht und schritt für schritt erklären? Vielen vielen Dank!!!

18.04.2012, 00:43

Dopap

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es geht um (T)reffer und (N)ieten = 2 Ergebnisse = Bernoulli.
T= Zahl 3 ist gewürfelt. N= Gegenereignis.

$\begin{eqnarray*} p(T)=\frac 16, p(N)=\frac 56 \end{eqnarray*}$

Wenn 4 mal hintereinander gewürfelt wird ist n=4.

Es entstehen Bernoulii-Ketten.

TNNN, NTNT, NNNN, TTTT, ...

meistens wird nicht nach deren WKT gefragt, sondern nach X= Anzahl der Treffer.
Dann darf man aber auch sagen: wir nehmen einen Würfelbecher mit 4 Würfeln.
----------------------------------------------------
Nehmen wir die erste Kette. Hier ist X=1

gesucht: p(X=1).

dafür kommen aber 4 Ketten ( Pfade ) ( Permutationen ) in Frage:

TNNN NTNN NNTN und NNNT.

alle haben dieselbe Wkt und deshalb der Faktor 4.

-----------------------------------------------------------

bei p(X=2) hat auch jede Kette dieselbe Wkt- aber verschieden zu oben.

nur ist die Anzahl der Permutationen grösser. Die T's können 2 von 4 Plätzen belegen, und die Anzahl liefert der Binomial(!)koeffizient

hier eben : $\begin{eqnarray*} \binom 4 2 \end{eqnarray*}$

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