Flächen zwischen Graphen und X Achse

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02.09.2008, 15:19	Rudi	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächen zwischen Graphen und X Achse Hallo , folgende Aufgabe : Berechnen Sie die Fläche , die vom Graphen f , der Tangente in P und der x-Achse begrenzt wird. $\begin{eqnarray} f(x)=(x-2)^4 \end{eqnarray}$ ; P(0\|16) Habe erstmal $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ gebildet : $\begin{eqnarray} f'(x)= 4(x-2)^3 \end{eqnarray}$ Dann habe ich die Steiung der Tangente berechnet : $\begin{eqnarray} m_t=f'(0)=-32 \end{eqnarray}$ Und dann in die Tangentengleichung m , x und y eingesetzt $\begin{eqnarray} 16=-32 \cdot 0 +b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=16 \end{eqnarray}$ Daraus folgt , folgende Tangentengleichung : $\begin{eqnarray} y=-32x+16 \end{eqnarray}$ Nun soll ich ja die Fläche berechnen die X-Achse , Tangete und Graph einschließen also berechne ich noch die Nullpunkte von f und y $\begin{eqnarray} (x-2)^4=0 \end{eqnarray}$ x=2 und $\begin{eqnarray} -32x+16=0 \end{eqnarray}$ x=0,5 So nun , frage ich mich nur welches Integral ich berechnen soll ! also von wo bis wo das gehen soll ... ich dachte an $\begin{eqnarray} \int_{0,5}^{2}~(x-2)^4-(-32x+16)~dx \end{eqnarray}$ stimmt das so ?
02.09.2008, 15:53	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du kannst so durchaus beginnen, bist damit aber noch nicht fertig, denn du hast damit zuviel Fläche bestimmt (mache dir mal eine Skizze zum Sachverhalt) Das rechtwinklige Dreieck unterhalb der x-Achse musst du noch abziehen, was aber kein großer Aufwand sein dürfte. Gruß Björn
02.09.2008, 16:45	Rudi	Auf diesen Beitrag antworten »
jo , ich hab mir den Graf einfach plotten lassen. Demnach , muss ich folgendes rechnen : $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2}~(x-2)^4~dx - \int_{0}^{05}~-32x+16~dx \end{eqnarray}$ Aber ohne Zeichnung oder Plotter , hätte ich das nicht so hinbekommen ... kann man das auch sonst irgendwie erkennen , ohne Zeichnung ?
02.09.2008, 17:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
skizze sollte man bei sowas immer machen. Stell die doch mal hier ein.
02.09.2008, 17:43	Rudi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok , eigentlich ganz banal. So hatte ich mir das aufgemalt ( als ich alle Infos hatte Nullstelle etc. )
02.09.2008, 17:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
so kannst du nun die Flächen beurteilen. Ohne Skizze eher schwierig.
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02.09.2008, 17:52	Rudi	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe hier eine Aufgabe , die noch dazu gehört: Nun soll vom Graph $\begin{eqnarray} f(x)= -x^2 \end{eqnarray}$ im Punkt P $\begin{eqnarray} (1\|-1) \end{eqnarray}$ eine Normale eingezeichnet werden und wieder die Fläche zwischen Graph , Normale und X-Achse bestimmt werden. Habe als Normalengleichung folgendes raus : $\begin{eqnarray} y=0,5x-1,5 \end{eqnarray}$ Habe noch die Nullstelle der Normalen x=3 und die Nullstelle von f(x) x=0... aber irgendwie weiß ich gerade nicht welches Integral ich aufstellen muss. //edit: Achso , wo ich mir meine eigene Skizze gerade nochmal selbst anschaue , glaube ich , dass ich durch verschiebe von f(x) an den Flächen inhalt komme den ich suche ! Also ich stelle mal fogendes auf : $\begin{eqnarray} \int_{0}^{3}~0,5x-1,5~dx - \int_{0}^{1}~-x^2+1,5~dx \end{eqnarray}$
02.09.2008, 18:17	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die Parabel von 0 bis 1 integrieren und dazu dann das Integral von der Normalen im Intervall von 1 bis 3 addieren (wobei man beim zweiten gar nicht unbedingt integrieren muss weil es sich ja wiederum lediglich um die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks handelt)
02.09.2008, 18:37	Rudi	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke !

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