Wieder ein Problem an einer konkreten Aufgabe: Verteilungsfunktion aus Dichtefunktion

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pygospa Auf diesen Beitrag antworten »
Wieder ein Problem an einer konkreten Aufgabe: Verteilungsfunktion aus Dichtefunktion
Hallo,

ich habe mal wieder ein kleines Problem zu einer Aufgabe, wo ich diesmal keine Lösung habe, und nicht wirklich vorwärts komme.

Dabei handelt es sich jetzt zwar nur um eine Teilaufgabe, ich werde aber mal alles bis dahin aufzeigen, für den Fall, dass ich eventuell schon im Voraus Fehler gemacht habe:

Gegeben ist ein Graph einer Funktion. Die Funktion hat die Form einer Betragsfunktion (also ein linearer fallender Ast im II. Quadranden der im I. Quadranden an der y-Achse gespiegelt ist).

Betrachtet wird der Graph nur im Intervall -a bis a, wobei er bei -a und +a den Wert c annimmt.

Nun die Fragen:

1.) Wie ist c zu bestimmen, damit der Graph tatsächlich Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable ist?

Meine Lösung:
Da der Graph zwei Dreiecke beschreibt, lässt sich auf dem geometrischen Weg der Flächeninhalt unter der Funktion bestimmen mit:
A = 2* 1/2 * a * c
Da für die Dichtefunktion gelten muss, dass das Integral 1 beträgt, folgt daraus:
1 = 2* 1/2 * a * c
c = 1/a

2.) Wie lautet die Dichtefunktion?



3.) Wie lautet die Verteilungsfuktion?

Und hier nun hänge ich.

Zuerst hab ich mir gedacht, ich bilde einfach die Integrale über den negativen und dem positiven Ast, in den Integralen [-a;0] und [0;a] und addiere sie. Aber logischerweise kommt da ja 1 bei raus Hammer

Versuch zwei ging dann in Richtung wie unter zwei, also zwei verschiedene Definitionen für die beiden Äste.

Allerdings kann das ja auch nicht richtig sein, da der Graph ja zusammenhängend sein muss. Aufgrund der Ausgangsfunktion müsste der Graphenverlauf ja aussehen, wie eine Funktion dritten Grades, denn erst fällt die Funktion ja, bei 0 müsste ein Wendepunkt sein, da die Steigung dort ja Null beträgt, und dann müsste der Graph wieder zunehmen, erst langsam, dann schneller.

Aber wie komme ich hier auf die Verteilungsfunktion?!

Danke für die Hilfe
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Stück für Stück von links nach rechts vorarbeiten...
pygospa Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, dass man x als Intervallgrenze für die Integration nehmen kann wusste ich nicht verwirrt
Wir hatten entweder immer von negativ Unendlich bis positiv Unendlich für das unbestimmte Integral, oder aber konkrete Werte als Grenzen für bestimmte Integrale.

Dies wäre dann wohl eine Mischung aus beidem? Denn eigentlich handelt es sich hierbei ja um die Suche nach einem unbestimmten Integral.

Kannst Du anhand des Ergebnisses schauen, ob ich das jetzt verstanden habe/richtig mache?



AD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so nur für richtig - und es heißt , nicht .
pygospa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Das ist so nur für richtig

Also damit beziehst Du Dich jetzt auf das x als obere Grenze, oder?
Also die Stammfunktion, bzw. die Dichtefunktion die ich mir jetzt errechnet habe, ist richtig?

Zitat:
- und es heißt , nicht .

Oh, ja - klar. Ich hab zuletzt so viel mit Zufallsvariablen X gerechnet, daher kommts Augenzwinkern

Dabei fällt mir auf: Ich hab mich noch garnicht richtig bei Dir bedankt. Ist echt super, hast mir schon zwei male die Haut hier gerettet smile

Gott
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich beziehe mich auf das Rechenergebnis

,

das ist nun mal nur für richtig. Die Verteilungsfunktion sollte aber für alle reellen angeben werden, nicht nur für die aus dem Intervall . Insofern ist dein Ergebnis unvollständig, du solltest also auch noch für die anderen angeben!

Offenbar habe ich den Link aber völlig für die Katz angegeben...
 
 
pygospa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieder ein Problem an einer konkreten Aufgabe: Verteilungsfunktion aus Dichtefunktion
Ach so, ja klar.

Vollständig müsste es heißen:



Das hab ich jetzt einfach als Bekannt hingenommen, da meine Frage sich jetzt nur auf das Intervall [-a;a] aber trotzdem danke.

Wieso kommt es Dir so vor, dass der Link für die Katz gewesen ist? Ich habe ihn mir angeschaut und durchgelesen, und ja auch auf meine Aufgabe übertragen - ohne den Link hätte ich die Aufgabe ja nicht lösen können.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

ist für definitiv falsch. Nochmal wiederhole ich das nicht. unglücklich

Zitat:
Original von pygospa
Wieso kommt es Dir so vor, dass der Link für die Katz gewesen ist?

Weil du meine Empfehlung, schrittweise Intervall für Intervall (von links beginnend) vorzugehen, vollständig ignoriert hast. Du hast dich sofort auf das Intervall gestürzt, dieses Ergebnis einfach auch auf angewandt, was natürlich prompt zu einem falschen Ergebnis führt: Dieses von dir angegebene ist sogar im Intervall streng monoton fallend (!!!), sehr seltsam für eine Verteilungsfunktion...
pygospa Auf diesen Beitrag antworten »

Verzeihe bitte. Ich habe das dann vorhin doch noch falsch verstanden.

Ich dachte, durch den Integrationsterm sei der Teil im zweiten Quadranten schon repräsentiert.

Das dabei dennoch eine Funktion mit gradem Exponenten bei heraus kam, hat mich ein wenig irritiert, ich habe es dann ein paar Werte ausgerechnet, dort aber wohl mit dem Taschenrechner ein Klammerproblem gehabt, weswegen das ganze doch einigermaßen hinkam.

Jetzt passt es, der Teil im zweiten Quadranten hat als Stammfunktion dann



Ich entschuldige mich für meinen Denkfehler, und bedanke mich sehr für Deine Geduld mit mir!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt stimmt's. Freude

Wem's Spaß macht, der kann die beiden mittleren Intervalle zusammenfassen gemäß

.


Solche Kontrollen, wie die von mir genannte mit der Monotonie, sind stets als Rechenkontrolle anratsam: Verteilungsfunktionen müssen nun mal monoton wachsend und rechtsstetig (sogar stetig im Falle stetiger Zufallsgrößen) sein, mit den Randwerten

und .

Wenn auch nur eine dieser Bedingungen nicht erfüllt ist, dann ist was faul...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann biete ich auch noch etwas zum Besten an:

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