Ermittlung des Grenzwertes und erweitern von Brüchen mit Variablen

02.09.2008, 19:33

gartenzwerg

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Ermittlung des Grenzwertes und erweitern von Brüchen mit Variablen

hallo liebe freunde der mathematik

ich sitz gerade vor meinen hausaufgaben, mein kopf qualt doch ich komm einfach nicht weiter.
12n+8
gegeben habe ich die folge (an ) = --------------
6n

den grenzwert habe ich bereits ermittelt. er lautet g=2
gesucht wären alle glieder die von 2 einen kleineren abstand als 0,001 haben
also epsylon E = 0,001

glücklicherweise haben wir letzte stunde noch einen kleinen tipp vom lehrer bekommen
(die betragsstriche ersetze ich ma durch eckige klammern da ich sie nicht auf meiner tastatur finden kann -> [])

[an - g ] < E

daraus folgt

12n+8
[ ---------- - 2 ] < 0,001
6n
leider weis ich jetzt nicht wie ich erweitern und weiterrechnen soll.
kann mir jemand weiterhelfen?

ps: die bruchzahlen sind mir verrutscht und stehen links am rand

danke im vorraus
mfg melissa

02.09.2008, 19:36

system-agent

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Versuch doch bitte LaTeX zu nutzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Ansatz ist richtig, du hast
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{12n+8}{6n}-2\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Das ist einfach nur die Definition.

Nun musst du diese Ungleichung eben nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ lösen.

Aber das ist Schulmathe.

Edit:
Erweitern:
$\begin{eqnarray*} 2=2\cdot1=2\frac{6n}{6n}=\frac{12n}{6n} \end{eqnarray*}$ .

02.09.2008, 19:42

gartenzwerg

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ach wie konnte ich das vergessen unglücklich

unglücklich

danke danke smile

smile

02.09.2008, 20:10

gartenzwerg

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und darf ich die ungleichung
n-1
---- -1 < 0,1
n+2

einfach zu

n-1-1n
---------- < 0,1
n+2

umformen?

02.09.2008, 20:15

Jacques

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Nein. Man kann Brüche nur dann addieren und subtrahieren, wenn sie denselben Nenner haben.

Du müsstest also die 1 = 1/1 zuerst mit (n + 2) erweitern.

02.09.2008, 20:19

gartenzwerg

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wie sieht das dann im bruch aus?
ich kann mir das so schlecht vorstellen

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02.09.2008, 20:19

system-agent

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Und noch ein genereller Tipp:
Rechne sowas doch erstmal, indem du das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ stehen lässt. Wenn du nämlich dann die gleiche Aufgabe für ein anderes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ machen musst, musst du nicht neu rechnen.

02.09.2008, 20:22

Jacques

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@ gartenzwerg: Schreib es doch einfach auf. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.09.2008, 20:30

gartenzwerg

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wenn ichs so aufschreib wie ich des jetzt denken würd mit deinem erweiterten dann hätt ich:

n-1-n+2
----------
n+2

aber wenn ich dann mit E (0,1) weiterrechne komme ich auf 8 < n
rauskommen müsste aber 28 = N

02.09.2008, 20:40

Jacques

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Die Subtraktion der Brüche ist fast richtig:

Beachte, dass man bei der Subtraktion von Brüchen die gesamten Zähler subtrahiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{n - 1}{n + 2} - \frac{n + 2}{n + 2} = \frac{(n - 1) - (n + 2)}{n + 2} = \frac{n - 1 - n - 2}{n + 2} \end{eqnarray*}$

02.09.2008, 21:56

gartenzwerg

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und wenn ich jetzt eine aufgabe wie habe:

2n²-3
-------- - 1
3n²

wie verfahre ich da?
wenn ich mit 3n/n oder so erweitere hätt ich

2n²-3-3n²
--------------
3n²

wenn ich dann E (0.1) einsetze und rechne komm ich wieder nicht auf n

02.09.2008, 22:00

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \left|\frac{2n^2-3}{3n^2} -1\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \left|\frac{2n^2}{3n^2}-\frac{3}{3n^2}-1\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

02.09.2008, 22:01

gartenzwerg

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du hast jetzt nur die rechnung aufgegliedert.
ich möcht die 1 darin verrechnen

02.09.2008, 22:04

Q-fLaDeN

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Du kannst das jetzt kürzen:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{2n^2}{3n^2}-\frac{3}{3n^2}-1\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left|-\frac{1}{n^2}-\frac{1}{3}\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Wenn du die 1 mit "verrechnen" willst, dann hast du dir die Antwort schon selbst gegeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^2-3-3n^2}{3n^2} = \frac{2n^2}{3n^2} - \frac{3}{3n^2} - \frac{3n^2}{3n^2} \end{eqnarray*}$

oder:

$\begin{eqnarray*} \frac{-n^2-3}{3n^2} \end{eqnarray*}$

Du kommst auf exakt das selbe.

02.09.2008, 22:19

gartenzwerg

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wie kommst du darauf also auf

-n²-3
--------
3n²

kann man da ned noch anders kürzen also ich hätt dann

2 ------3
__ _ ____

3--------3n²

also 2/3 - 3/3n²
was hab ich schon wieder falsch gemacht *schluchz*

oder fällt das unter "aus differenzen und summen kürzen nur die dummen smile

smile

02.09.2008, 22:40

Jacques

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Q-fLaDeN hat genauso gerechnet, er ist nur schon einen Schritt weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^2}{3n^2} - \frac{3}{3n^2} -1\quad =\quad \frac{2}{3} - \frac{3}{3n^2} - 1 \quad =\quad -\frac{1}{n^2} - 1 + \frac{2}{3} \quad =\quad -\frac{1}{n^2} - \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \quad =\quad -\frac{1}{n^2} - \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von gartenzwerg

oder fällt das unter "aus differenzen und summen kürzen nur die dummen smile

smile

Nein, der Spruch bezieht sich auf Terme wie

$\begin{eqnarray*} \frac{a + b}{b} \end{eqnarray*}$

...die man eben nicht kürzen kann. Wenn eine Summe oder Differenz im Zähler steht, darf man daraus nicht kürzen.

Aber z. B.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{a} - \frac{1}{b} = 1 - \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

ist korrekt.

// Wenn es möglich ist, solltest Du bei den nächsten Beiträgen den Formeleditor benutzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.09.2008, 13:31

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von gartenzwerg
wie kommst du darauf also auf

-n²-3
--------
3n²

Ich hab eigentlich nur mit deiner Variante weitergerechnet. Also

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^2-3-3n^2}{3n^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man ja im Zähler $\begin{eqnarray*} 2n^2-3n^2 \end{eqnarray*}$ rechnen, und das ist $\begin{eqnarray*} -n^2 \end{eqnarray*}$

Ansonsten sieh dir Jacques Beitrag an.

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