Konkrete Aufgabe: Grenzwert einer Reihe

02.09.2008, 23:13

pygospa

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Konkrete Aufgabe: Grenzwert einer Reihe

Folgende Aufgabe:

Unendliche Dezimalbrüche sind spezielle Reihen. Betrachte den periodischen Dezimalbruch x = 0,086363636..., dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{8}{10} + \sum_{k=1}^\infty~ \frac{k!}{k^k} \end{eqnarray*}$

a) Konvergiert die Reihe?
b) Falls die Reihe konvergiert, besitzt x = 0,086363636... einen endlichen Wert, welchen?

Meine Lösung zu a)

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ an \end{eqnarray*}$ eine beliebige Reihe, und $\begin{eqnarray*} q = \frac{an+1}{an} \end{eqnarray*}$ , dann ist die Reihe:
konvergent, wenn q<0
divergent, wenn q > 0
keine Aussage möglich, bei q=0.

$\begin{eqnarray*} q = \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{k!}{k^k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(k+1)! * k^k}{(k+1)^{k+1}*k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{k! * k * k^k}{(k+1)^{k+1}*k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{k^{k+1}}{(k+1)^{k+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ({\frac{k}{(k+1)}})^{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ({\frac{1}{1+\frac{1}{k}}})^{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{1+\frac{1}{k}^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Und da gilt:

$\begin{eqnarray*} 1 < 1+\frac{1}{k}^{k+1} \end{eqnarray*}$ gilt somit auch:

q < 0.

--> Die Reihe konvergiert.

Das ist doch soweit erstmal richtig, oder?

Wie nun aber gehe ich Aufgabe b an? In den Vorlesungen sind wir immer so vor gegangen, dass wir eine Limesbetrachtung durchgeführt haben, um den Grenzwert zu ermitteln und diesen haben wir dann meist durch die Epsilontik bewiesen.

Nur bei der Limesbetrachtung dieser Reihe komme ich nicht wirklich weit... unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} {(\frac{8}{10} + \sum_{k=1}^\infty~ \frac{k!}{k^k})} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{8}{10} + \lim_{k \to \infty} {\sum_{k=1}^\infty~ \frac{k!}{k^k}} \end{eqnarray*}$

So... und hab hier stehe ich dann nun auf dem Schlauch. Wie kann ich das weiter vereinfachen um einen Grenzwert zu errechnen?
(Und stimmt meine Betrachtung zu a insoweit überein? Oder habe ich da schon einen Fehler und die Reihe konvergiert garnicht?)

02.09.2008, 23:28

marci_

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du kannst die konvergenz der reihe doch mit dem wurzelkriteirum überprüfen!? $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$

02.09.2008, 23:33

Airblader

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Du hast 2 Fehler in deiner a)

$\begin{eqnarray*} (k+1)! = k! \cdot (k+1) \neq k! \cdot k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k \neq 1 + \left(\frac{1}{k}\right)^k \end{eqnarray*}$

Den zweiten Fehler findest du bei dir dabei in der letzten Zeile der Gleichungskette. Wie bist du denn darauf gekommen verwirrt

verwirrt

Auch verwundert bin ich überhaupt über das x.

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} \frac{k!}{k^k} > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{k!}{k^k} > 0 \end{eqnarray*}$ .

Und 8/10 ist schonmal 0,8. Wie soll x dann kleiner als 0,8 werden können verwirrt

verwirrt

Oder sehe ich hier was falsch?

Edit #1: Die Herangehensweise bei b) ist für mich absolut unverständlich. Warum willst du k gegen unendlich schicken verwirrt

verwirrt

k wird in der Reihe definiert und damit hast du einfach eine falsche Syntax.
Der Limes, den du suchst, steckt hier in der Reihe selbst schon drin.

Edit #2: Und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ macht auch keinen Sinn. Wenn dann $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ .

Edit #3: Und ganz abgesehen davon geht es um $\begin{eqnarray*} q < 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} q > 1 \end{eqnarray*}$ und nicht bzgl. der 0 !

air

02.09.2008, 23:54

pygospa

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Zitat:

Original von marci_
du kannst die konvergenz der reihe doch mit dem wurzelkriteirum überprüfen!? $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$

Das Wurzelkriterium ist uns leider nicht bekannt. Die uns gelehrten Kriterien sind das Vergleichskriterium, das Quotientenkriterium, und das Leibnitzkriterium für alternierende Reihen.

@Airblader:

Es muss natürlich 0,8636363... heißen, sorry, Tippfehler.

Gut, den Hinweis mit (k + 1)! hab ich nicht gewusst. wenn ich jetzt so drüber nachdenke, macht das auch viel mehr Sinn Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} = ({\frac{k}{(k+1)}})^{k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ({\frac{1}{1+\frac{1}{k}}})^{k+1} \end{eqnarray*}$ | Was ich hier gemacht habe, ist k ausgeklammert, und dann gekürzt.

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{(1+\frac{1}{k})^{k+1}} \end{eqnarray*}$ | Hier wende ich das Potenzgesetz, dass ich weiter oben angewendet habe, rückwärts an, und 1 hoch irgendetwas ist ja immer 1 - also ist die Potenz nur noch im Nenner.

Zitat:

Edit #2: Und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ macht auch keinen Sinn. Wenn dann $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ .

Bei uns in den Vorlesungen haben wir k immer für die Reihen und n für die Folgen genommen. Also dort, wo ich das a_n benutz habe, wollte ich deutlich machen, dass es sich um die Entsprechenden Folgen der Reihe handelt.

Gut bei meiner Gleichungskette hätte ich dann richtiger weise auch mit n statt mit k arbeiten müssen. Aber unser Dozent hat es da selbst nie so wirklich mit der konsequenten Einhaltung gehabt, das hab ich mir wohl abgeguckt unglücklich

unglücklich

[b]Edit[\b]

Zum Edit 3: Sorry, noch ein Tippfehler (ich sollte ins Bett -.-)

Zur Limesbetrachtung: Grenzwerte haben wir bisher immer mit Limesbetrachtungen ermittelt. Einfach den Limes über eine Folge oder Reihe gebildet, und dann alles was unabhängig von der Folgen/Reihenvariable aus der Limesbetrachtung herausgenommen, und den abhängigen Term so umgeformt, dass ein Limes ablesbar war (indem bestimmte Teile gegen Null oder Unendlich liefen, und irgendwann nurnoch konkrete Konstanten übrig blieben, oder aber der Gesamte Term offensichtlich ins Unendliche lief.

Wo kann man denn den Grenzwert in der Reihe selbst sehen? Wie wäre Dein Vorgehen in diesem Fall?

02.09.2008, 23:57

tmo

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Noch ein Tipp zur a)

Nutze $\begin{eqnarray*} n! \leq en\left( \frac{n}{e} \right)^n \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \leq \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ abzuschätzen.

edit: sorry, noch nicht gesehen, dass das wurzelkriterium nicht in frage kommt.

edit2:

Zitat:

Original von pygospa
$\begin{eqnarray*} = ({\frac{k}{(k+1)}})^{k+1} \end{eqnarray*}$

Hier sollte schon die Ähnlichkeit mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ ins Auge springen. (So ein Zufall, dass wieder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ im Spiel ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

03.09.2008, 00:03

Airblader

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Du machst den von mir im Edit #2 genannten Fehler, als du das Kriterium nichmal anführst (und das ja auch falsch).

Und das x stimmt so dennoch nicht. Berechne doch mal $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{15} \frac{k!}{k^k} \end{eqnarray*}$ und du wirst sehen, was ich meine.

Deine Umformung ist immer noch falsch, du bist zu schnell.

$\begin{eqnarray*} q = \frac{(k+1)! \cdot k^k}{k! \cdot (k+1)^{k+1}} = \frac{k! \cdot (k+1) \cdot k^k}{k! \cdot (k+1)^{k+1}} = \frac{k^k}{(k+1)^k} = \left(\frac{k}{k+1}\right)^k = \left(\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\right)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^k} \to \frac{1}{\ldots} \end{eqnarray*}$

Was in den Nenner kommt sollte für $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ dann klar sein.

Edit:

Was den Limes angeht:
Wenn du das so machen willst, bitte. Aber dann erkläre vorher, was $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ bedeutet verwirrt

verwirrt

Dass der Limes drinsteckt soll bedeuten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$

(Und damit wollte ich nur sagen, dass du den Limes da nicht vorne hinschreiben sollst. Um an den Grenzwert zu kommen hilft dir das nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

air

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03.09.2008, 00:33

pygospa

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Gut, den Einwand für x sehe ich jetzt auch ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Verdammte Axt. Die Aufgabe ist von einem Studenten, der sich die Aufgeschrieben hatte, nachdem er durch seine Prüfung gerasselt ist... aus der Erinnerung heraus. Also hat der da wohl was zusammengemurkst.
Naja, dennoch ganz gut zum Üben gewesen.

Oh, ich sehe gerade, Du hast schon wieder editiert.
Okey, das verstehe ich auch.
Bei Folgen würde es Sinn machen. Ich bin gerade nochmal meine Unterlagen durch gegangen, und sehe, dass wir das bei Reihen noch nie vorher gerechnet hatten, und ich nur davon ausgegangen bin, dass es bei Folgen genau so ist. In einfachen fällen hatten wir $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ berechnet - also die Reihe so umgeformt, das man eine Formel zur Berechnung für jede Partialsumme bis n hatte.

Um nochmal auf das Quotientenkriterium zusprechen zu kommen: Der Nenner würde dann für sich gegen e Laufen, wenn ich das richtig sehe.

Dennoch hätte ich schon beim der Gleichung aufgehört, da ja klar ist, das der Nenner größer als der Zähler ist, also q<1 gilt. So jedenfalls haben wir das Quotientenkriterium bisher immer nur angewandt.

(vielleicht muss man dazu sagen, dass ich Wirtschaftsinformatik studiere, wir also nicht ganz so tief in die Mathematischen Zusammenhänge dringen - in zwei Semester haben wir Folgen, Reihen, Funktionen, Integralrechnung, Differenzialrechnung, und Wahrscheinlichkeitsrechnung abgefrühstückt - und in meinem Dualen Studium beträgt jedes Semester nur 10 Wochen.)

03.09.2008, 00:36

Airblader

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Ja, das hätte gereicht, um dann q<1 zu zeigen.

Der Student muss da wirklich einiges vermurkst haben, das stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

03.09.2008, 00:50

pygospa

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Hehe, irgendwie lässt mich diese Aufgabe dennoch noch nicht ganz los. Ich hoffe, dass ich die echte Fassung irgendwie in die Finger bekommen kann.

Aber rein Logisch gesehen, wenn der eine Teil aus 8/10 besteht, und der andere Teil aus einer Reihe, die unaufhörlich 63 Paare erzeugt und hinten dran hängt (denn darauf muss es bei dieser Aufgabe dann ja wohl hinaus laufen), dann müsste jede folgende Partialsumme ja um zwei Nullen direkt hinter dem Komma länger werden (also 0,063, 0,00063, 0,0000063, usw.).

Dann müsste der Grenzwert einer solchen Reihe logisch betrachtet doch die 0 sein, oder denke ich da falsch?

03.09.2008, 01:57

Airblader

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Sorry - ich kann nicht nachvollziehen, was du meinst verwirrt

verwirrt

Ich rätsel sowieso an der b) rum - denn ich kann auch da nicht verstehen, was gesucht ist.

Nach deiner Vorgehensweise hatte ich es darum zuerst drauf rauslaufen lassen, den Reihenwert zu bestimmen. Ich vermute aber, dass das gar nicht so einfach ist ...

Aber wenn ich die Zahl $\begin{eqnarray*} 0,8\overline{63} \end{eqnarray*}$ habe (oder wie auch immer), dann frage ich mich, was für einen 'endlichen Wert' man sucht.
Entweder die Zahl ist nun periodisch oder nicht (wenn man das unter einem endlichen Wert versteht).

Wir wissen ja nun, dass die Reihe konvergiert. Allein daran entscheidet sich aber nicht, ob die Zahl nun periodisch ist oder nicht. Sie ist es genau dann, wenn auch der Reihenwert eine periodische Zahl ist.

air

03.09.2008, 10:48

Leopold

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Was ist denn das für eine merkwürdige Aufgabe? Was hat denn der periodische Dezimalbruch $\begin{eqnarray*} 0{,}8\overline{63} \end{eqnarray*}$ mit der Reihe in der Aufgabe zu tun? Der Summand für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ liefert den Beitrag $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , womit der Reihenwert schon $\begin{eqnarray*} > 1{,}8 \end{eqnarray*}$ ist.

03.09.2008, 11:16

Airblader

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Ja, das haben wir nun auch mehrfach erwähnt und geklärt .. die Aufgabe stammt aus der Erinnerung an eine Klausur eines anderen Studenten.

air

03.09.2008, 11:49

Leopold

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Mit solch einer "Aufgabe" sollte man sich nicht beschäftigen, Erinnerung hin, Erinnerung her. Auf beiden Seiten der Gleichung des ersten Beitrags stehen Zahlen, die offenbar ungleich sind. Wo ist da eine "Aufgabe"? Da könnte ich auch gleich sagen:

$\begin{eqnarray*} 2+3 = 4 \cdot 5 \end{eqnarray*}$

Wie muß man $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ bestimmen, damit diese Gleichung wahr wird?

Unfug ...

03.09.2008, 11:51

Airblader

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Nunja, die a) ist nicht ganz sinnfrei.
Die Konvergenz der Reihe zu bestimmen ist eine gewisse Übung und kann man machen.

Die b) wird dagegen dann völlig sinnlos.

air

03.09.2008, 11:58

Leopold

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$\begin{eqnarray*} x = \frac{8}{10} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{63}{10^{2k+1}} \end{eqnarray*}$

So ergäbe das für mich einen Sinn.

03.09.2008, 12:51

pygospa

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Das ist die Aufgabe. Ich habe den Prof heute direkt kontaktiert, und von ihm genau die gleiche Reihe bekommen.

Die Aufgabenstellung ist aber weiterhin richtig. Es soll 1. geschaut werden, ob sie generell konvergiert, und wenn ja soll der Grenzwert ermittelt werden, gegen den diese Reihe konvergiert.

$\begin{eqnarray*} x = \frac{8}{100} + \sum_{k=0}^\infty~ \frac{63}{10^{4+2k}} \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich so vorgehen, für a werde ich weiterhin mit dem Quotientenkriterium arbeiten (wird diesmal auch ganz einfach):

$\begin{eqnarray*} q = \frac{\frac{63}{10^{4+2(k+1)}}}{\frac{63}{10^{4+2k}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{63 * 10^{4+2k}}{63 * 10^{4+2k+2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{10^{4+2k}}{10^{4+2k}+10^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{10^2} \end{eqnarray*}$

Und bei b würde ich jetzt machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}({\frac{8}{100}+\frac{63}{10^{4+2k}}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{8}{100} + \lim_{k \to \infty}({\frac{63}{10^{4+2k}}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{8}{100} + 63 * \lim_{k \to \infty}({\frac{1}{10^{4+2k}}}) \end{eqnarray*}$

Und da gilt: $\begin{eqnarray*} 1 < 10^{4+2k} \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}({\frac{1}{10^{4+2k}}}) = 0 \end{eqnarray*}$

Also läuft die Reihe gegen 0.

Ergibt das Sinn?

03.09.2008, 12:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von pygospa
Und bei b würde ich jetzt machen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}({\frac{8}{100}+\frac{63}{10^{4+2k}}}) \end{eqnarray*}$

Und was willst du damit zeigen? verwirrt

verwirrt

Und warum läßt du das Summenzeichen einfach weg?

Zitat:

Original von pygospa
Und da gilt: $\begin{eqnarray*} 1 < 10^{4+2k} \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}({\frac{1}{10^{4+2k}}}) = 0 \end{eqnarray*}$

Diesen Unfug möchte ich nicht weiter kommentieren.

03.09.2008, 15:03

pygospa

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Wie komme ich denn dann an den Grenzwert der Reihe?!

Gesucht wird laut Dozenten die Konvergenz und wenn diese gegeben ist, dann den Grenzwert, gegen den die Reihe konvergiert...

03.09.2008, 15:13

klarsoweit

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Da sollte man sich mal an die geometrische Reihe erinnern:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{63}{10^{4+2k}} = \frac{63}{10000} \cdot \sum_{k=0}^\infty~\frac{1}{100^k} \end{eqnarray*}$

Mir ist es ein Rätsel, wieso es Dozenten immer noch gelingt, die Studenten mit sowas reinzulegen. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von pygospa
$\begin{eqnarray*} = \frac{10^{4+2k}}{10^{4+2k}+10^2} \end{eqnarray*}$

Noch ein Schreibfehler. Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} = \frac{10^{4+2k}}{10^{4+2k} \cdot 10^2} \end{eqnarray*}$

03.09.2008, 19:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

In der sechsten Klasse am Gymnasium lernt man die Umwandlung eines periodischen Dezimalbruches in einen gemeinen Bruch (früher war das jedenfalls so), und zwar durch Beispiele:

$\begin{eqnarray*} \frac{53}{99} = 0{,} \overline{53} \, ; \ \ \ \frac{620}{9999} = 0{,} \overline{0620} \end{eqnarray*}$

Man sieht das sofort, wenn man die linken Seiten durch schriftliches Dividieren berechnet (wer kann heute noch schriftlich dividieren!). Und dann muß man das eben nur umkehren:

$\begin{eqnarray*} 0{,} \overline{1234567} = \frac{1234567}{9999999} \end{eqnarray*}$

Und in deinem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 0{,}08 \overline{63} = 8{,} \overline{63} : 100 = \left( 8 \frac{63}{99} \right) : 100 \end{eqnarray*}$

Das Kürzen und Zu-Ende-Rechnen überlasse ich dir.

Daß Fachleute dahinter die geometrische Reihe sehen, darauf hat klarsoweit schon hingewiesen.

04.09.2008, 01:29

pygospa

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Irgendwie zweifele ich gerade sehr stark an meiner Intelligenz unglücklich

unglücklich

@Leopold: Was hat denn jetzt Dein Posting mit der Frage zu tun, wie ich den Grenzwert der gegebenen Reihe ermitteln kann? Immerhin ist das doch die Frage.

--
Ich habe jetzt nach dem Hinweis der geometrischen Reihe einen Beweis gefunden, der Besagt, dass der Grenzwert einer geometischen Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_1*q^n \end{eqnarray*}$

- konvergiert und 0 ist, falls |q| < 1 ist,
- divergiert, falls |q| > 1 ist,
- divergiert, falls q = 1 ist
- in die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(-1)^{k-1} \end{eqnarray*}$ übergeht, falls q = -1 ist, was bedeutet, dass zwei Häufungspunkte entstehen, und es folglich keinen Grenzwert gibt.

Argumentiert wird hierbei vor allem mit dem limes von q, nachdem zuvor über eine Umformung eine allgemeine Gleichung für $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ aufgestellt wurde, und dann über eine Limesbetrachtung gezeigt wurde, dass nur der Term q letztendlich von n abhängig ist.

So, und was habe ich dann in meiner Limesbetrachtung oben anders gemacht?

Mein q ist doch nunmal $\begin{eqnarray*} \frac{63}{10^{4+2k}} \end{eqnarray*}$ . Gut, ich könnte es wie klarsoweit gezeigt hatte vorher noch so weit umgeformt haben, dass kein Zweifel mehr an der geometrischen Reihe besteht; aber das Ergebnis ist doch das gleiche?!

Also warum darf ich nicht den Limes vom Term q bilden? Und wo und wie gelingt es dem Dozenten, mich herein zu legen?

Sorry, wenn das jetzt irgendwie "zu Dumme" Fragen sein sollten - aber ich bin genau deswegen hier, weil ich in Mathe eben nicht der aller hellste bin und Hilfe brauche (und ganz nebenbei auch noch hoffe, dass ich meinen Spaß an Mathe wiedergewinnen kann)...

04.09.2008, 02:46

Yoshee

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von pygospa

Ich habe jetzt nach dem Hinweis der geometrischen Reihe einen Beweis gefunden, der Besagt, dass der Grenzwert einer geometischen Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_1*q^n \end{eqnarray*}$

- konvergiert und 0 ist, falls |q| < 1 ist,
- divergiert, falls |q| > 1 ist,
- divergiert, falls q = 1 ist
...

Hier bringst du etwas durcheinander: wenn der Betrag von q < 1 ist, dann konvergiert die FOLGE gegen Null (Nullfolge). Dies ist notwendige Bedingung für eine Konvergenz der Reihe. Wogegen sie konvergiert kannst du für geometrische Reihen mit |q|<1 mit folgender Formel bestimmen:
$\begin{eqnarray*} s=\sum_{k=1}^{\infty}~ a \cdot q^{k-1}=\frac{a}{1-q} \end{eqnarray*}$

04.09.2008, 05:51

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@pygospa: Ein Grenzwert konvergiert nicht. Eine Reihe oder Folge konvergiert gegen einen Grenzwert.

04.09.2008, 09:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von pygospa
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_1*q^n \end{eqnarray*}$

- konvergiert und 0 ist, falls |q| < 1 ist,

Formal und inhaltlich unsauber. Da der Laufindex k ist, muß es q^k heißen, nicht q^n.
Desweiteren konvergiert die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a \cdot q^k \end{eqnarray*}$ für |q| < 1. Der Grenzwert ist aber nicht Null, sondern $\begin{eqnarray*} \frac{a}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von pygospa
Mein q ist doch nunmal $\begin{eqnarray*} \frac{63}{10^{4+2k}} \end{eqnarray*}$ . Gut, ich könnte es wie klarsoweit gezeigt hatte vorher noch so weit umgeformt haben, dass kein Zweifel mehr an der geometrischen Reihe besteht; aber das Ergebnis ist doch das gleiche?!

Wenn du mal die allgemeine Form für eine geometrische Reihe (das ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a \cdot q^k \end{eqnarray*}$ ) mit deiner Reihe (also mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac{63}{10^{4+2k}} \end{eqnarray*}$ ) vergleichst, dann siehst du, daß q nicht $\begin{eqnarray*} \frac{63}{10^{4+2k}} \end{eqnarray*}$ sein kann. Generell muß das q eine Konstante sein und darf daher nicht noch einen Laufindex beinhalten.

Zitat:

Original von pygospa
Also warum darf ich nicht den Limes vom Term q bilden?

Von welchem Term willst du denn da den Limes bilden?

Zitat:

Original von pygospa
Und wo und wie gelingt es dem Dozenten, mich herein zu legen?

Ich wollte damit nur sagen, daß es immer wieder erstaunlich ist, wie es Dozenten immer wieder gelingt, Studenten mit leicht versteckten geometrischen Reiheln aus der Bahn zu werfen. Da machst du wegen der Konvergenz erstmal große Überlegungen mit dem Quotientenkriterium, statt gleich zu sagen, daß es eine geometrische Reihe mit q=1/100 ist und die Konvergenz somit geklärt ist. Und was den Reihenwert angeht, solltest du auch in der Lage sein, die einschlägigen Regeln dazu anzuwenden.

04.09.2008, 13:07

pygospa

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Ich sehe meine Fehler ein. Gott

Gott

Falsch habe ich also gemacht:

1.) Ich war zu umständlich, ich hätte gleich sehen müssen, dass ich das auf eine bekannte konvergente Reihe bringen kann, nämlich die geometrische Reihe. Damit hätte ich mir viel Arbeit gesparrt.

2.) Den Limes der Folge einer Reihe zu bilden ist falsch, ich muss den Limes aus der n-ten Partialsumme bilden.

Im Prinzip ist das ja das was mit der Reihe selbst beschrieben wird, aber einen Limes aus einer Reihe zu bilden (also aus einer Summe, deren Laufvariable ebenfalls gegen unendlich geht) ist mathematisch gesehen quatsch.

Fazit, ich bilde die n-te Partialsumme, für die es bei geometrischen Reihen eine feste Form gibt.

(Wäre das keine geometrische Reihe, müsste ich mir diese dann errechnen, indem ich die n-te Partialsumme "aufschreibe" und gucke, ob sie sich von alleine vereinfacht, oder was ich mit n tun muss, damit sie sich vereinfacht. - ich hab da so ein Beispiel gefunden, wo sn und q*sn gebildet werden, dann sn*q - sn gerechnet wird, und diese Gleichung dann nach sn umgestellt wird).

Hört sich das schlüssig an? Habe ich das jetzt soweit richtig verstanden?

(Der Grenzwert der Reihe würde dann übrigens $\begin{eqnarray*} 0,00\overline{63} \end{eqnarray*}$ ergeben. Macht ja bei der REIHE auch Sinn Big Laugh

Big Laugh

)

Ich denke mal jetzt hab ichs, danke an alle, denen ich hier die Nerven geraubt habe, und vor allen auch an Yoshee - nach dem Hinweis hat es bei mir endlich *klick* gemacht! smile

smile

04.09.2008, 18:47

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von pygospa
2.) Den Limes der Folge einer Reihe zu bilden ist falsch

Das ist zu drastisch formuliert. Wenn die Folge z.B. nicht gegen Null konvergiert, dann weißt du, dass die Reihe nicht konvergiert.

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