Ebenen

31.05.2006, 23:27

rappozappo

Ebenen

Hi ich hab mal ne frage, also hab schon die ganzen aufgaben davor selber ausgerechnet, aber hier komm ich irgendwie nicht weiter...
kann mal jemand plz weiterhelfen? Wäre sehr nett, danke

31.05.2006, 23:40

Lazarus

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Wäre schön wenn du uns sagen würdest wo genau du hängengeblieben bist, damit wir das nicht komplett aufrollen müssen.

01.06.2006, 00:14

rappozappo

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also wenn ich bei der f) die werte von E1 in E2 einsetzt bekomm ich
2s+36=16 raus also s=-10 udn waws mach ich dann?

01.06.2006, 00:33

marci_

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du sollst doch den abstand der ebenen berechnen..
das bringts eigentlich nur, wenn die ebenen parallel sind...
verwende hierzu die HNF...

01.06.2006, 00:41

rappozappo

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also ich kann wohl nciht mehr erwarten dass mir um diese zeit noch jemand hilft, aber ich bin davon ausgegangen dass sie parallel sind, weil wo soll ich sonst den abstand bverechnen? wo ichs mir grad aussuche? weil z.B am schnittpunkt ist der abstand = 0 udn bei den koordinaten(3|5|9) ist der abstand vllt auch unendlich??!! naja, dann versuch ich mal die hessche normalform, ich rate einfach mal ich nehm die HSN udn setzte punkt z ein, weil ich x udn y =0 setze und somit sollte z in der ebene lieben kP??!!!

01.06.2006, 00:56

riwe

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f) ist vermutlich der einfachere teil.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
daher sind die beiden ebenen parallel
$\begin{eqnarray*} d=\frac{2\cdot 10 +2\cdot 10- 2-8}{3}=10 \end{eqnarray*}$
brauchst du zu g) hilfe?
werner

01.06.2006, 00:56

Abakus

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Die HNF von $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ kannst du fast ablesen (jedenfalls den Normalenvektor). Mit dem Normalenvektor kannst du dich blitzschnell überzeugen, dass beide Ebenen parallel sind (Skalarprodukt). Den Abstand der Ebenen kriegst du durch die HNF, die du aufstellst (hier (10,10,-2) einsetzen).

Grüße Abakus smile

EDIT: oder auch so wie es Werner gemacht hat.

01.06.2006, 01:21

rappozappo

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ja bräucht zurr g auch hilfe wenn du ncoh da bist smile

also beim kreuzprodukt hab ich raus (1|2|2), dnan kommt für den abstand 3,33 raus!

01.06.2006, 01:39

riwe

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gerade durch P: $\begin{eqnarray*} \vec{x} =r\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
den (beiden geradengemeinsamen) schnittnittpunkt nehmen wir als aufpunkt der gesuchten geraden g:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =r\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\- 1 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
jetzt das übliche verfahren: schnittpunkt zu der senkrechten ebene E3 durch O
2x + 2y + z = 0
bestimmen, also einsetzen.
das liefert r = - 3t, das bedeutet der schnittpunkt von g und E3 hat die koordinaten S(2t/-4t/4t) .
und jetzt weißt du noch, dieser punkt hat den abstand $\begin{eqnarray*} d = \pm 6 \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} t =\pm 1 \end{eqnarray*}$ ergibt.
na damit hast du die beiden aufpunkte der beiden gesuchten geraden.
herz, was willst du mehr
werner

beim kreuzprodukt hast du dich verrechnet, da würden sich die beiden ebenen schneiden, was d = 0 bedeutete.

edit: vertauschte vorzeichen korrigiert

01.06.2006, 01:50

rappozappo

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Zitat:

Original von wernerrin
gerade durch P: $\begin{eqnarray*} \vec{x} =r\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Heist der vektor nicht P: $\begin{eqnarray*} \vec{x} =r\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
ok cih versuche es mal damit zu rechnen!
Und was meisnt du mit der Ebene E3?? meinst du vllt E1 oder E2 ?

vielen dank, dass du dir noch um diese uhrzeit die mühe machst um mir zu helfen, find ich sehr sozial, würd mcih auch evtl. revangieren wenn du sagst wie Augenzwinkern

01.06.2006, 08:59

riwe

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ja das ist richtig, damit ändert sich aber nur das vorzeichen zu r = -3t, der rest bleibt vollkommen gleich!
ich bessere es oben aus!
E3: das solltest du a) selber wissen, b) ich habe es ja hingeschrieben, mußt es halt genauer lesen: das ist die auf g senkrechte ebene durch O, so bestimmt man üblicherweise den abstand eines punktes von einer geraden!
jetzt mußt schon selber auch was machen. Big Laugh

na, wenn du noch fragen hast frage ruhig
werner

04.06.2006, 17:03

rappozappo

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ok, ich hab nochmal ne frage, also weis nicht ob ich das richtig verstanden habe:
Also du meinst, E2 und die Hilfsebene, die senkrecht auf ihr liegt E3 schneiden sich bei der Geraden gx. Und jetzt bekomme ich den Schnittpunkt der von gx und gu indem ich einfach den einen richtungsvektor der Ursprungsgeraden nehme und dann noch den normalenvektor der ebene drannhänge?
Die Ursprungsgerade gu ist ja $\begin{eqnarray*} \vec{gu} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
und jetzt mit normalenvektor von E2
$\begin{eqnarray*} \vec{gu} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ja udnwieso muss ich dann 2x + 2y + z = 0 und nicht 2x + 2y + z = 8

ALso ist eig alles klar bis auf, dass ich nciht weis, was oder warum du das bei $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ mit einmal dem richtungsvektor und einmal dem normalenvektor gemacht hast und was das dann bringen soll

06.06.2006, 15:31

rappozappo

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noch wer da? mir langt es auch wenn ihr mir sagt wo das gesetz steht was ich da anwenden soll, müsst net extra alles erklären, vielleicht hilfts auch.
Danke Gruß
rappozappo

15.06.2006, 18:59

rappozappo

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Ok Werner, habe mich jetzt mal richtig mit der Aufgabe befasst und bin zum Ergebnis gekommen, dass deine Antwort falsch ist, oder mir nciht einleuchtet udn zum falschen Ergebnis führt!

Mein Vorschlag:
Richtungsvektor beider Geraden, da orthogonal zu E2: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ortsvektor der Geraden nehme ich einfach einen Punkt der Ursprungsgeraden (Variable t auch für Ortsvektor, da dieser noch verschoben werden muss) $\begin{eqnarray*} t*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt kommts:
Lotfußverfahren:
$\begin{eqnarray*} 6= \mid \begin{pmatrix} 2r \\ 2t+2r \\ -t+r \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} 2r \\ 2t+2r \\ -t+r \end{pmatrix} \mid * \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

r= -1/3t

$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} -2/3t \\ 2t-2/3t \\ -t-1/3t \end{pmatrix} \mid = 6 \end{eqnarray*}$

vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} -2/3t \\ 4/3t \\ -4/3t \end{pmatrix} \mid = 6 \end{eqnarray*}$

Und jetzt nur noch Betrag ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} 36 = 4/9t² + 16/9t² + 16/9t²= 4t² \end{eqnarray*}$

t ist also - oder + 3 !!!

Das eingesetzt in die obige Gleichung ergibt dann...

$\begin{eqnarray*} g1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

YEAAAA, ENDLICH FERTIG!!! So, jetzt erwarte ich erstmal ein Statement! :P

Also nochmal zu Ebene3: Zitat: E3 ist die auf g senkrechte ebene durch O, so bestimmt man üblicherweise den abstand eines punktes von einer geraden!

Also das ist eine Hilfsebene, die man sich denkt. Den Abstand eines Punktes zu einer Geraden bestimmt man über die Hesssche Normalengleichung! Hast du die Aufgabe vielleicht falsch verstanden??
Oder hast du ein falsches verfahren Angewendet? Weil das mit der Ebene E3 lässt mcih einfach nciht in Ruhe, cih weis nciht wo die sein soll, gibt es vielleciht ein Programm mit dem man sowas Zeichnen kann oder kannst du eine skizze machen? Wäre dir Sehr verbunden!!!!

15.06.2006, 19:51

riwe

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Zitat:

Original von rappozappo
Ok Werner, habe mich jetzt mal richtig mit der Aufgabe befasst und bin zum Ergebnis gekommen, dass deine Antwort falsch ist, oder mir nciht einleuchtet udn zum falschen Ergebnis führt!

Mein Vorschlag:
Richtungsvektor beider Geraden, da orthogonal zu E2: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ortsvektor der Geraden nehme ich einfach einen Punkt der Ursprungsgeraden (Variable t auch für Ortsvektor, da dieser noch verschoben werden muss) $\begin{eqnarray*} t*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt kommts:
Lotfußverfahren:
$\begin{eqnarray*} 6= \mid \begin{pmatrix} 2r \\ 2t+2r \\ -t+r \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} 2r \\ 2t+2r \\ -t+r \end{pmatrix} \mid * \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

r= -1/3t

$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} -2/3t \\ 2t-2/3t \\ -t-1/3t \end{pmatrix} \mid = 6 \end{eqnarray*}$

vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \mid \begin{pmatrix} -2/3t \\ 4/3t \\ -4/3t \end{pmatrix} \mid = 6 \end{eqnarray*}$

Und jetzt nur noch Betrag ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} 36 = 4/9t² + 16/9t² + 16/9t²= 4t² \end{eqnarray*}$

t ist also - oder + 3 !!!

Das eingesetzt in die obige Gleichung ergibt dann...

$\begin{eqnarray*} g1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

YEAAAA, ENDLICH FERTIG!!! So, jetzt erwarte ich erstmal ein Statement! :P

Also nochmal zu Ebene3: Zitat: E3 ist die auf g senkrechte ebene durch O, so bestimmt man üblicherweise den abstand eines punktes von einer geraden!

Also das ist eine Hilfsebene, die man sich denkt. Den Abstand eines Punktes zu einer Geraden bestimmt man über die Hesssche Normalengleichung! Hast du die Aufgabe vielleicht falsch verstanden??
Oder hast du ein falsches verfahren Angewendet? Weil das mit der Ebene E3 lässt mcih einfach nciht in Ruhe, cih weis nciht wo die sein soll, gibt es vielleciht ein Programm mit dem man sowas Zeichnen kann oder kannst du eine skizze machen? Wäre dir Sehr verbunden!!!!

sehr lobenswert, hättest ja gleich tun sollen!
UND
was soll man gegen solche genialität ausrichten!
aber wenn du genau geschaut hättest, wäre dir vielleicht aufgefallen, dass wir dieselben geraden haben, allerdings mit verschiedenen aufpunkten, was ja gerade das wesen von geraden ist, dass sie aus mehreren punkten bestehen.
allerdings hasse ich es, unnötige formeln mir zu merken - da bin ich schon zu doof - und daher der von mir beschriebene weg.
zur einsicht(?):
$\begin{eqnarray*} g_2:\vec{x} =\begin{pmatrix}2 \\-4 \\ 4 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

skizze folgt,
muß jetzt wichtigeres tun, ein bier trinken
wie versprochen ein bilderl nach dem bier

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