Gradient von f

01.06.2006, 14:19

kara_mela

Gradient von f

Hallo
wir haben ne Aufgabe bekommen und zwar sollen wir foglendes zeigen: für || grad f(y)|| $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 und ||a||=1, t>0 gilt:

$\begin{eqnarray*} f(y- t*\frac{grad f(y)}{||grad f(y)||} )\leq f(y+ta)\leq f(y+ t*\frac{grad f(y)}{||grad f(y)||} ) \end{eqnarray*}$

Ich hab jetz schon geschafft zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} f(y+ta) \leq \mid f(y+t*\frac{||gradf(y)||}{gradf(y)} ) \mid \end{eqnarray*}$
gilt.
Aber ich brauch ja das Reziproke von dem Bruch, bin mir auch sicher, dass ich mich nich verrechnet hab.

Danke schon mal

01.06.2006, 17:30

20_Cent

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02.06.2006, 08:40

kara_mela

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Ist vielleicht $\begin{eqnarray*} \frac{||gradf(y)||}{gradf(y)} = \frac{gradf(y)}{||gradf(y)||} \end{eqnarray*}$ .
Ich kenn mich da net so genau aus, oder is das eine genau das negative vom andern?

02.06.2006, 09:20

Mazze

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Erklär mir mal wie du eine reelle Zahl durch einen Vektor teilen willst? Der Gradient ist ein Vektor der Betrag eine reelle Zahl damit kann deine Gleichung da nicht stimmen weil die linke Seite nicht definiert ist.

Zitat:

ich hab jetzt shcon gechaft zu zeigen

$\begin{eqnarray*} f(y+ta) \leq \mid f(y+t*\frac{||gradf(y)||}{gradf(y)} )| \end{eqnarray*}$

glaub ich nicht, das ist wieder nicht definiert ich vermute eher du hast gezeigt das

$\begin{eqnarray*} f(y+ta) \leq \mid f(y+t*\frac{gradf(y)}{|| gradf(y) ||} )| \end{eqnarray*}$

Welche anforderungen hast Du an die Funktion f noch? Schreib mal bitte alle Vorrausetzungen hin, die sind wichtig fürs verstehen der Aufgabe.

02.06.2006, 09:23

Marcyman

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grad(f)(y) ist ein Vektor (außer im trivialen Fall) und ich wüsste nicht was dann grad(f)(y)^(-1) bedeuten sollte. Vielleicht hiflt dir aber, dass der Gradient die Richtung des größten Anstiegs angibt. Durch die Norm vom Gradienten dann zu teilen ist reine Normierungssache.

02.06.2006, 15:19

kara_mela

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Also wir ahben folgende Formeln schon in der Vorlesung gehabt:

$\begin{eqnarray*} gradf(y)*a = ||gradf(y)|| *cos\alpha \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der winkel zwischen gradf(y) und a ist.
Das hab ich nach a umgestellt. Also:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{||gradf(y)||* \alpha }{gradf(y)} \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} \mid cos\alpha \mid \leq 1 \end{eqnarray*}$
Hab ich halt fast das was ich zeigen soll, nur der bruch is halt verkehrtrum

Könnt ihr mir sagen, ob ich was falsch gemacht hab und wies richtig aussehen muss??

danke schon mal

PS: wir haben noch gegeben, dass f eine reelle Funktion ist, f ist in einer Umgebung vn y definiert, und stetig differenzierbar, y und a sind Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ .

02.06.2006, 16:22

Crotaphytus

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Um noch mal den Kritikpunkt der anderen hier aufzuwärmen: grad f(y) ist im Allgemeinen ein Vektor. Die Division durch einen Vektor ist überhaupt nicht definiert, du kannst das also gar nicht so schreiben geschweige denn mit so was rechnen.

02.06.2006, 16:26

Mazze

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Du hast schon wieder den selben Fehler gemacht.
Du kannst NICHT durch einen Vektor teilen, erklär mir mal was

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

sein soll. Das ist nicht definiert, der Gradient ist und bleibt ein Vektor. Zu Deiner Formel, benutzte bitte nicht ein Zeichen für verschiedene Operationen. Deine Formel stimmt nur weil ||a|| = 1 ist , und was da steht ist das Skalarprodukt von 2 Vektoren links also eigentlich

$\begin{eqnarray*} <\mathcal5 f,a> = ||\mathcal5 f|| cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} ||a|| = 1 \end{eqnarray*}$

Und da kannst du nicht einfach durch $\begin{eqnarray*} \mathcal5 f \end{eqnarray*}$ Teilen, du solltest Dir erstmal klar werden das links das Skalarprodukt von Vektoren (!) steht und rechts die multiplikation in reellen Zahlen.

zu deiner Ungleichung: Bedenke Marcymans Hinweis das der Gradient in die Richtung des Höchsten Anstiegs zeigt.

09.06.2006, 11:25

kara_mela

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Ok, hab nochmal drüber nachgedacht.
Also der Ausdruck ganz rechts entsteht, wenn, a und grad f in die gleiche Richtung weisen, dadurch wird der Winkel zwischen beiden 0 und der cos davon wird 1.
Der Ausdruck ganz links entsteht, wenn a und grad f in genau entgegengesetze Richtungen zeigen, also haben wir cos(180) = -1.
Das funktioniert, weil ja ||a||= 1 und $\begin{eqnarray*} \frac{gradf(y)}{||gradf(y)||} \end{eqnarray*}$ normiert ist, also der letzte Ausdruck hat auch die Länge 1. Also wird der Wert der Ausdrücke nur durch den Winkel von a zu grad f (y) bestimmt.
stimmt das so, oder hab ich mich da wieder vertan?

09.06.2006, 11:31

Dual Space

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Obwohl ich mir nicht sicher bin, auf was sich jetzt "ganz rechts/links" bezogen hat, denke ich, du hast es verstanden. Freude

09.06.2006, 11:40

kara_mela

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Sorry, mathematisch unkorrekt aber das war jetz so ein Gedankenblitz...
Ich meinte mit ganz links:
$\begin{eqnarray*} f(y-t \frac{gradf(y)}{||gradf(y)||} ) \end{eqnarray*}$
und mit ganz rechts:
$\begin{eqnarray*} f(y+t \frac{gradf(y)}{||gradf(y)||} ) \end{eqnarray*}$
Danke schön für eure Geduld

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