Vektorrechnung: Zylinder u. Gerade

03.09.2008, 06:50

eierkopf1

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Vektorrechnung: Zylinder u. Gerade

Hallo!

Ich weiß nicht, wie ich das folgende Beispiel lösen sollte unglücklich

unglücklich

"Wie lang ist das Geradenstück, das sich im Zylinder befindet?
Zylinder: Basiskreis liegt in der xy-Ebene, M(2/4), r=5, h=20
Gerade: A(-2-2/0), B(0/10/10)

Ich muss zuerst die Geradengleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 12 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich noch die Gleichung für den Zylinder aufstellen, jedoch weiß ich nicht, wie das geht.

Dann würde ich die Schnittpunkte von Gerade und Zylinder ausrechnen und den Abstand von den zwei Schnittpunkten berechnen, oder?

Weiß jemand, wie ich das mit dem Zylinder lösen kann?

mfg

03.09.2008, 10:35

riwe

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RE: Vektorrechnung: Zylinder u. Gerade
um auf deine frage einzugehen:
ja, ich denke unglücklich

unglücklich

, ich weiß es

1) führe zunächst eine koordinatentransformation durch
$\begin{eqnarray*} x^\prime=x-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^\prime=y-4 \end{eqnarray*}$

2) damit lautet die gleichung des zyjinders
(koordinaten ohne stricherl)

$\begin{eqnarray*} x=5\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=5\cdot sin\alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=z\quad{ }\text{mit}\quad{ }0\leq z\leq h \end{eqnarray*}$

3) nun schneidest du mit der transformierten geraden

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das ergibt zunächst die schnittwinkel (vorsicht) und daraus das zugehörige s

ich habe
$\begin{eqnarray*} \alpha_1=116.8251°\to s_1=1.7437 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_2= 224.2502°\to s_2=0.4185 \end{eqnarray*}$

4) damit kannst du nun die koordinaten der beiden schnittpunkte und daraus ihren abstand berechnen,

wenn´s stimmt verwirrt

verwirrt

edit: besser gleich die winkelfunktionen eliminieren, das ergibt

$\begin{eqnarray*} s_{1,2}=\frac{40\pm\sqrt{601}}{37} \end{eqnarray*}$

mit dem ergebnis der eleganten lösung von Leopold Gott

Gott

03.09.2008, 10:36

Leopold

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Projiziert man einen Zylinderpunkt senkrecht in die $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene, so liegt die Projektion auf dem Grundkreis des Zylinders. Der Zylinder besteht mit anderen Worten aus allen Punkten $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ , wobei für die Koordinaten $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ die Kreisgleichung des Grundkreises in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene besteht und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ beliebig ist (nicht ganz, $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist durch die Zylinderhöhe beschränkt).
Du erhältst eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . Um den Rechenaufwand in Grenzen zu halten, ist es sinnvoll, nicht gleich mit den konkreten Lösungen der Gleichung weiterzurechnen, sondern erst einmal mit Konstantennamen $\begin{eqnarray*} s_1,s_2 \end{eqnarray*}$ für die Lösungen.
Ich habe für die Streckenlänge $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ das Folgende erhalten:

$\begin{eqnarray*} l = \frac{2}{37} \sqrt{37262} \end{eqnarray*}$

03.09.2008, 15:28

eierkopf1

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Zitat:

Original von Leopold
Projiziert man einen Zylinderpunkt senkrecht in die $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene, so liegt die Projektion auf dem Grundkreis des Zylinders. Der Zylinder besteht mit anderen Worten aus allen Punkten $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ , wobei für die Koordinaten $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ die Kreisgleichung des Grundkreises in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene besteht und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ beliebig ist (nicht ganz, $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist durch die Zylinderhöhe beschränkt).
Du erhältst eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . Um den Rechenaufwand in Grenzen zu halten, ist es sinnvoll, nicht gleich mit den konkreten Lösungen der Gleichung weiterzurechnen, sondern erst einmal mit Konstantennamen $\begin{eqnarray*} s_1,s_2 \end{eqnarray*}$ für die Lösungen.
Ich habe für die Streckenlänge $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ das Folgende erhalten:

$\begin{eqnarray*} l = \frac{2}{37} \sqrt{37262} \end{eqnarray*}$

Danke für die Antworten!

Ich verstehe nur den Rechengang von Leopold nicht unglücklich

unglücklich

mfg

03.09.2008, 16:07

riwe

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das war auch meine spontane idee, nur hatte ich dann einen hirnverzwirner -
mir war nicht klar, wie man auf die z-komponente kommt verwirrt

verwirrt

dabei ist das das einfachste der aufgabe, die z-komponente ergibt sich ja wieder durch einsetzen von s in die ursprünliche geradengleichung:

also:

projiziere die gerade g in die xy-ebene, das ergibt g´, und nun schneide $\begin{eqnarray*} g^\prime \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K: \quad{ }(x-2)^2+(y-4)^2=25 \end{eqnarray*}$
das ergibt die beiden werte für s, und die setzt du jetzt wieder in die ursprüngliche gerade g ein, fertig ist der zauber

03.09.2008, 21:33

eierkopf1

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Zitat:

Original von riwe
das war auch meine spontane idee, nur hatte ich dann einen hirnverzwirner -
mir war nicht klar, wie man auf die z-komponente kommt verwirrt

verwirrt

dabei ist das das einfachste der aufgabe, die z-komponente ergibt sich ja wieder durch einsetzen von s in die ursprünliche geradengleichung:

also:

projiziere die gerade g in die xy-ebene, das ergibt g´, und nun schneide $\begin{eqnarray*} g^\prime \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K: \quad{ }(x-2)^2+(y-4)^2=25 \end{eqnarray*}$
das ergibt die beiden werte für s, und die setzt du jetzt wieder in die ursprüngliche gerade g ein, fertig ist der zauber

OK. So weit verstehe ich das. Nur wie projeziere ich g in die xy-ebene?

mfg

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03.09.2008, 22:12

riwe

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Zitat:

Original von eierkopf1

Zitat:

Original von riwe
das war auch meine spontane idee, nur hatte ich dann einen hirnverzwirner -
mir war nicht klar, wie man auf die z-komponente kommt verwirrt

verwirrt

dabei ist das das einfachste der aufgabe, die z-komponente ergibt sich ja wieder durch einsetzen von s in die ursprünliche geradengleichung:

also:

projiziere die gerade g in die xy-ebene, das ergibt g´, und nun schneide $\begin{eqnarray*} g^\prime \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K: \quad{ }(x-2)^2+(y-4)^2=25 \end{eqnarray*}$
das ergibt die beiden werte für s, und die setzt du jetzt wieder in die ursprüngliche gerade g ein, fertig ist der zauber

OK. So weit verstehe ich das. Nur wie projeziere ich g in die xy-ebene?

mfg

wie man es projEziert, weiß ich nicht. Big Laugh

Big Laugh

projIzieren: da sich das ganze dann in der xy- ebene ( $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ) abspielt, läßt du einfach die z-komponente weg, also:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=(-4,-6)^T+s(1,6)^T \end{eqnarray*}$

man kann auch sagen, wenn du in K einsetzt, spielt die z-komponente ohnehin keine rolle verwirrt

verwirrt

03.09.2008, 23:25

Leopold

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Sich das als Projektion vorzustellen, ist möglich, aber nicht nötig. Es ist doch ganz einfach: Du hast eine Geradengleichung, die Koordinaten der Punkte hängen von einem Parameter $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ab. Dann hast du die Zylindergleichung, die eine Bedingung für die Koordinaten $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ eines Punktes vorgibt. Daß die Koordinate $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in der Gleichung gar nicht vorkommt, stört nicht, genau so wenig, wie es stört, wenn man von einer Ebene mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} 2x - 3y = 15 \end{eqnarray*}$ spricht. Da kommt ja $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auch nicht vor. Und ebenso, wie du die Rechnung durchziehst, wenn du die Gerade mit dieser Ebene schneidest, machst du es, wenn du die Gerade mit dem Zylinder schneidest. Da gibt es keinen Unterschied im Vorgehen. Nur wirst du hier von ganz alleine auf eine quadratische Gleichung geführt, was auch völlig der Anschauung entspricht: Von Sonderfällen abgesehen schneidet eine Gerade einen Zylinder genau zweimal.

03.09.2008, 23:27

eierkopf1

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OK, Danke.

Ich komme auch auf das Ergebnis von Leopold smile

smile

Warum fließt das h niergends in die Rechnung ein?

mfg

03.09.2008, 23:42

riwe

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das fließt sozusagen indirekt ein unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq h \end{eqnarray*}$
das gilt ja für die beiden z-koordinaten.

03.09.2008, 23:44

Leopold

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Das $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ fließt nur insoweit in die Rechnung ein, als nachzuprüfen ist, ob die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Koordinate der beiden Schnittpunkte kleiner als 20 und größer als 0 ist. Mehr ist da nicht.

04.09.2008, 09:42

riwe

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zusammenfassen könnte man es auch so:
zylinder:
$\begin{eqnarray*} x=2+5\cdot cos\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=4+5\cdot sin\alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=z \end{eqnarray*}$

in
$\begin{eqnarray*} g:\quad{ }\vec{x}=(-2,-2,0)^T+s(1,6,5)^T \end{eqnarray*}$
einsetzen:

$\begin{eqnarray*} x:\quad{ }5\cdot cos\alpha=-4+s \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y:\quad{ }5\cdot sin\alpha=-6+s \end{eqnarray*}$

quadrieren und addieren führt auf

$\begin{eqnarray*} 37s^2-80s+27=0\to s_{1,2}=\frac{40\pm\sqrt{601}}{37} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=|s_2-s_2|\sqrt{1+36+25}=\frac{2}{37}\sqrt{37262} \end{eqnarray*}$

04.09.2008, 09:50

eierkopf1

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Danke sehr.

Ich kann mir es zeichnerisch nicht vorstellen, wie würde es grafisch ausschauen (vorallem die Projektion)?

mfg

04.09.2008, 10:42

riwe

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hilft das

verwirrt

04.09.2008, 11:13

Huggy

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Alternative zu Werners schönem Bild:

Nimm eine leere Blechdose. Halte einen geraden Draht schräg so hinein, dass er an zwei Stellen die Dosenwand berührt. Das ist die Gerade. Beleuchte das senkrecht von oben mit einer Taschenlampe. Der Schatten des Drahtes auf dem Boden ist die Projektion der Geraden in die xy-Ebene.

Und wenn du das in deinem Kopf machst, ersparst du dir die Mühsal mit der Dose. smile

smile

06.09.2008, 18:12

eierkopf1

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Danke sehr! Jetzt ist es mir klar Gott

Gott

mfg

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