Beweis

01.06.2006, 14:51	zero	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Guten Tag Wie beweise ich (induktiv?), dass für ein beliebiges n gilt: $\begin{eqnarray} x^n - c^n = (x-c)\cdot(x^{n-1} + x^{n-2} \cdot c + \cdots + c^{n-1}) \end{eqnarray}$ Durch Polynomdivision kann ich diesen Zusammenhang natürlich schon für ein beliebiges n aufzeigen ... doch dies scheint mir nicht gerade sehr elegant
01.06.2006, 16:46	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
wie wärs mit ausklammern der rechten Seite - oder ist das auch nicht elegant genug?
01.06.2006, 16:56	zero	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, die rechte Seite kann ausgeklammert werden, doch dass die Behauptung für alle n gilt ist auf diese Weise noch nicht bewiesen?!
01.06.2006, 18:16	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso? - n ist doch beliebig...
02.06.2006, 02:00	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (x-c) \cdot \sum_{i=1}^{n+1} x^{n-i+1}c^{i-1} \end{eqnarray}$ Jetzt ziehen wir den Faktor x sowie den (n+1)-ten Summanden aus der Summe: $\begin{eqnarray} (x-c)x\left( x^{-1}c^n + \sum_{i=1}^{n} x^{n-i}c^{i-1} \right) \end{eqnarray}$ Jetzt Induktionsvoraussetzung anwenden. Der Rest ist ein Kinderspiel.
02.06.2006, 12:48	zero	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau was ich suchte - Vielen Dank!
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02.06.2006, 13:04	Daktari	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Wäre es falsch, wenn man im Induktionsschritt "mogelt" ? Induktionsannahmen mit n=1 ist "klar" Induktionsvoraussetzung, es gelte $\begin{eqnarray} x^n - c^n = (x-c)(x^{n-1} + x^{n-2}c + \cdots +c^{n-1}) \end{eqnarray}$ Induktionsschritt: zeige das $\begin{eqnarray} x^{n+1} - c^{n+1} = (x-c)(x^{n} + x^{n-1}c + x^{n-2}c^2 \cdots + xc^{n-1} + c^{n}) \end{eqnarray}$ Rechnet man die rechte Seite aus, so ist $\begin{eqnarray} (x-c)(x^{n} + x^{n-1}c + x^{n-2}c^2 \cdots + xc^{n-1} + c^{n}) \\=(x^{n+1}+cx^n+c^2x^{n-1}\cdots x^2c^{n-1}+xc^n - cx^n-c^2x^{n-1}-\cdots --c^{n-1}x^2-c^nx-c^{n+1}\\= x^{n+1}-c^{n+1} \end{eqnarray}$ q.e.d. Hier habe ich die Induktionsvoraussetzung gar nicht gebraucht. Darf man überhaupt bei Induktionsbeweisen von "jeder beliebigen Seite" im Induktionsschritt ausgehen ?
03.06.2006, 17:43	Daktari	Auf diesen Beitrag antworten »
kann's mir neimand sagen ?
03.06.2006, 18:28	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Daktari, das ist kein Induktionsbeweis. Folglich macht es auch gar keinen Sinn, dass du die Identität mit $\begin{eqnarray} x^{n+1}-c^{n+1} \end{eqnarray}$ beweist. Es würde auch $\begin{eqnarray} x^{n}-c^{n} \end{eqnarray}$ genügen, allerdings sind die $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ als problematisch anzusehen, da diese Tatsache so einfach ist, dass man absolut exakt arbeiten muss, sonst könnte man statt der $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ sagen: Sieht man doch Gruß, therisen

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