Stammfunktion bestimmen

03.09.2008, 12:31

iyvonne_90

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Stammfunktion bestimmen

Hello,

komme bei einer Aufgabe nicht weiter!

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~(t+2)*sin(t^2+4t-6)~dt \end{eqnarray*}$

Soll hier das Integral mt einer geeigneten Integrationsmethode lösen. Welche Methode kann/soll ich hier anwenden. Stehe auf dem Schlauch.

Muss ja die Stammfunktion berechnen, aber das Produkt im Integral macht mir Probleme!

Gruß
Iyvonne

03.09.2008, 12:36

klarsoweit

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RE: Stammfunktion bestimmen
Substituiere u = t² + 4t - 6 smile

smile

03.09.2008, 13:21

iyvonne_90

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ok danke,

aber wie finde ich nun mein p und q, ist mein p=4 und q=-6 ???

und was mache ich mit dem (t+2)*sin(u)

03.09.2008, 13:28

klarsoweit

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Hää? Was willst du mit p und q? verwirrt

verwirrt

Am besten schaust du dir mal die Substitutionsregel an:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(t)) \cdot g'(t)~dt = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(u)~du \end{eqnarray*}$

Wo findest du in deinem Integral das g'(t) ?

03.09.2008, 13:32

iyvonne_90

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ja das g'(t) ist ja dann -cos(2t+4) oder nicht?

03.09.2008, 13:44

klarsoweit

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Nein das g(t) ist t² + 4t - 6.

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03.09.2008, 13:53

iyvonne_90

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ok und meine obere grenze ist nun $\begin{eqnarray*} 6^2 + 4\cdot 6 - 6 = 6 \end{eqnarray*}$ und die untere -6

soweit richig? wie mache nun weiter?

03.09.2008, 13:55

klarsoweit

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Einfach die Substitutionsregel anwenden. Was ist f(u), was ist g(t) und was ist g'(t)? Alles einsetzen. Fertig.

03.09.2008, 14:01

iyvonne_90

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ok was g(t) ist und g'(t) ist mir nun klar, aber was ist f(u)? verwirrt

verwirrt

traurig

03.09.2008, 14:06

klarsoweit

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Wie wäre es mit 0,5 * sin(u) ?

03.09.2008, 14:18

iyvonne_90

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d.h.

es sieht dann so aus $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~0.5 \cdot sin(t^2+4t-6)\cdot(2t+4)~dx \end{eqnarray*}$

wie kommst du auf 0.5 * sin()

03.09.2008, 14:31

klarsoweit

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RE: Stammfunktion bestimmen
Weil nun mal gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~(t+2)*sin(t^2+4t-6)~dt = \int_{0}^{2}~0,5 \cdot sin(t^2+4t-6) \cdot (2t+4)~dt \end{eqnarray*}$

Links steht dein Integral, rechts steht ein Integral, auf das du die Substitutionsregel anwenden kannst.

03.09.2008, 17:36

WebFritzi

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Zumindest, wenn man die 0,5 vor das Integral zieht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2008, 09:42

iyvonne_90

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RE: Stammfunktion bestimmen

Zitat:

Original von klarsoweit
Weil nun mal gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~(t+2)*sin(t^2+4t-6)~dt = \int_{0}^{2}~0,5 \cdot sin(t^2+4t-6) \cdot (2t+4)~dt \end{eqnarray*}$

Links steht dein Integral, rechts steht ein Integral, auf das du die Substitutionsregel anwenden kannst.

d.h. man ist hier noch nicht fertig? Ich verstehe garnix mehr, muss ich nun nochmal die Substitutionsregel auf die rechte seite anwenden?

04.09.2008, 10:42

klarsoweit

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RE: Stammfunktion bestimmen
Ja. Und wieso "nochmal"? Bislang wurde die gar nicht angewendet, sondern lediglich eine kleine Umformung gemacht (Faktoren in der Reihenfolge vertauscht und aus (t+2) die 0,5 ausgeklammert).

05.09.2008, 09:48

iyvonne_90

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ok!!!!

muss man nicht die Grenzen auch ändern so wie hier im Beispiel 1: http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution

und ich muss ja nun die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} sin(t^2 +4t -6)\cdot (2t+4) \end{eqnarray*}$ finden?

Wie mache ich das, mich irritiert das "mal" zwischen!!

05.09.2008, 10:00

klarsoweit

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RE: Stammfunktion bestimmen
Ja, du mußt die Grenzen anpassen, aber erst, wenn du die Substitution durchführst. Ich schreibe die Substitutionsregel nochmal hin:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(t)) \cdot g'(t)~dt = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(u)~du \end{eqnarray*}$

Wenn du die linke Seite mal mit $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~0,5 \cdot sin(t^2+4t-6) \cdot (2t+4)~dt \end{eqnarray*}$ vergleichst, dann ist g(t) = t² + 4t - 6 und f(u) = 0,5 * sin(u). Und jetzt einfach nur noch die Regel anwenden.

05.09.2008, 10:02

iyvonne_90

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ok nun habe ich es glaube ich

$\begin{eqnarray*} 0.5 \cdot \int_{-6}^{6}~sin(t^2+4t-6)~dt \end{eqnarray*}$

aber was kommt da raus, ich komme auf 0.8947, laut lösung ist das aber falsch und muss 0 rauskommen.

05.09.2008, 10:13

klarsoweit

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Nein, du hast die Substitution immer noch nicht richtig angewendet. Nach der Substitution wird über f(u) integriert. Das steht in der Regel klar und deutlich. Und was f(u) ist, steht in meinem vorigen Beitrag.

05.09.2008, 10:20

iyvonne_90

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$\begin{eqnarray*} 0.5 \cdot \int_{-6}^{6}~sin(t^2+4t-6)~dt = 0.5 \cdot [sin(u)]_{-6}^6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5 \cdot [-cos(6^2+4\cdot 6-6) + cos(-6^2+4\cdot -6 -6)] = 0.8947 \end{eqnarray*}$

???????

05.09.2008, 10:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von iyvonne_90
$\begin{eqnarray*} 0.5 \cdot \int_{-6}^{6}~sin(t^2+4t-6)~dt = 0.5 \cdot [sin(u)]_{-6}^6 \end{eqnarray*}$

unglücklich

Warum ist es so unendlich schwer, einfach nur eine Regel anzuwenden, und da die Funktionen einfach nur einzusetzen? verwirrt

verwirrt

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} 0.5 \cdot \int_{-6}^{6}~sin(u)~du = ... \end{eqnarray*}$

05.09.2008, 10:29

iyvonne_90

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so danke jetzt verstehe ich es nun......

mich hat dein u = t^2 .... aus dem ersten Post gestört, dachte ich muss das hier einsetzen

05.09.2008, 15:02

WebFritzi

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Du hast es offenbar nicht verstanden, denn du sollst es einsetzen.

EDIT: Vielleicht hast du es doch verstanden. Zeig doch einfach mal deine Lösung. Wenn du so arbeitest wie von klarsoweit vorgeschlagen, setzt du das u ja nicht wirklich ein. Mein Kommentar war also etwas vorschnell.

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