2 probleme zu nilpotenz und kompaktheit

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gast123 Auf diesen Beitrag antworten »
2 probleme zu nilpotenz und kompaktheit
hallo,
ich bin noch neu hier und hoffe mal, das mir jemand helfen kann smile

ich hab da 2 probleme mit übungsaufgaben, die wir für ne klausurvorbereitung bekommen (eigentlich geht es eher um nen vorbereitungstest für die klasur Augenzwinkern ) haben und da unser tutor die woche krank ist... also ich schreib mal meine probleme:

1) Wieviele Klassen ähnlicher nilpotenter Matrizen gibt es in ?
was ähnliche matrizen sind ist mir ja klar, nilpotente auch, aber mit dem begriff "Klassen" kann ich irgendwie nix anfangen - was ist gemeint?

2) Die durch definierte Kreisscheibe ist abgeschlossen, beschränkt, aber nicht kompakt. zeigen sie dies.
also mit den ersten beiden sachen hab ich soweit keine probleme, aber wieso soll die denn nicht kompakt sein? als kompaktheitsdefinition kenn ich auch nur: eine menge ist kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist, aber anscheinend ist das wohl falsch Augenzwinkern

wäre super dankbar, wenn mir da jemand helfen kann! Hilfe
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2)

Kompaktheit kannst du noch so definieren:

Eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie sich nicht als Vereinigung von zwei nichtleeren, offenen, diskunkten Teilmengen darstellen lässt.
Das offen kannst du auch durch abgeschlossen ersetzen, falls das leichter zu zeigen ist.

Außerdem spielt es bei 2) glaub ich ne Rolle, in welchem Raum du die Kreisscheibe betrachtest... - bin mir aber nicht sicher
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

zur 1)
ich habe keine Ahnung was "" genau sein soll..... die Menge aller 6x6-Matrizen über K?
Hier geht es wohl um Äquivalenzklassen und zwar bezüglich der genannten Äquivalenzrelation "ähnlich".
Das das eine Äquivalenzrelation ist, muss unter Umständen noch gezeigt werden.

Je nach K gibt's da aber eh ganz schnell unendlich viele......






edit: grad gesehen, dass mit den unendlich vielen nehme ich zurück, es geht ja nur um NILPOTENTE Matrizen, da gibts wohl weniger.....
ob das endlich viele bleiben, weiß ich trotzdem nicht verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Urks, hier sind ja soviele Fehler, aaaaaalso

Kompakt: Eine Menge M heißt kompakt wenn jede beliebige Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung U besitzt so das U = M.

In endlichdimensionalen normierten VR gilt ausserdem:

M ist kompakt wenn M abgeschlossen und beschränkt ist.

So deine Kugel ist NICHT abgeschlossen, es gibt Randpunkte die nicht in der Kugel liegen, nämlich die irrationalen Zahlen x mit |x -a| < r.
So kannst du dann auch den Beweis führen. (Argument Q ist dicht in R)

Zitat:
Eine Menge ist genau dann kompakt, wenn sie sich nicht als Vereinigung von zwei nichtleeren, offenen, diskunkten Teilmengen darstellen lässt.


Das ist falsch, das ist die Definition von Zusammenhang nicht von kompakt. Die Vereinigung kompakter Mengen ist kompakt, vereinige mal

[0,2] mit [3,4]

die Menge ist kompakt und es gibt sehr wohl zwei disjunkte Mengen so das die Vereinigung die Menge ergibt.

zu 1)

Zwei Nilpotente Matrizen sind in der selben Klasse wenn sie die gleiche Normalform habenn, die kannste aufschreiben. Jede Nilpotente Matrix ist in eine Normalform unter Ähnlichkeit transformierbar.

@Loed

Jeder Körper hat ein ausgezeichnetes 1 Element und 0 Element (erzähl ich ja nix neues). Die Normalform unter Ähnlichkeit ist ja dann klar Nullmatrix + verschiedene Kombinationen von einsen auf der Nebendiagonalen, da gibts aber abhängig von der Dimension nur endlich viele.
gast123 Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal vielen dank für die antworten smile

Zitat:
Original von Mazze
So deine Kugel ist NICHT abgeschlossen, es gibt Randpunkte die nicht in der Kugel liegen, nämlich die irrationalen Zahlen x mit |x -a| < r.
So kannst du dann auch den Beweis führen. (Argument Q ist dicht in R)

versteh ich nicht, die kugel soll nicht abgeschlossen sein? das war aber eigentlich voraussetzung, ich sollte ja nur zeigen das es so ist. oder meintest du kompakt. und was heißt Q ist dicht in R? verwirrt

Zitat:
Original von Mazze
zu 1)
Zwei Nilpotente Matrizen sind in der selben Klasse wenn sie die gleiche Normalform habenn, die kannste aufschreiben. Jede Nilpotente Matrix ist in eine Normalform unter Ähnlichkeit transformierbar.


ok, danke. werd ich dann mal ausprobieren... smile
gast123 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das mit der kompaktheit hab ich jetzt kapiert, mir war wohl der unterschied zwischen rationalen und irrationalen zahlen nie so richtig klar Hammer

die nilpotenz krieg ich aber nicht hin, irgendwie fehlt mir nen rechenansatz?!
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Q ist dicht in R heißt das Du für jede irrationale Zahl x eine Folge in Q findest die gegen x konvergiert. Damit findest Du zu jeder Umgebung einer irrationalen Zahl mindestens eine rationale Zahl, damit ist diese irrationale Zahl Randpunkt deiner Menge, aber sie ist nicht in der Menge selbst, damit ist deine Kugel nicht abgeschlossen.

zur Nilpotenz:

Hattest Du schon die JNF?
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