Lager zweier Ebenen

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brain21 Auf diesen Beitrag antworten »
Lager zweier Ebenen
Hallo!
Es soll die Lage zweier Ebenen untersucht werden, die durch ihre Koordinatengleichungen gegeben sind:

x1+x2-x3=1
4x1-x2-x3=3

Bei ergibt sich dann per Gauss -5x2+3x3=-1
ich habe anschließend für x3= eine variable eingesetzt ich nenne sie hier der einfachkeit halber k

dann ergibt sich für x2= 3/5 k + 1/5
und für x1= 2/5 k + 4/5

es ergibt sich für die Schnittgerade die Gleichung:

x= (0,2/0,8/0) + k (0,4/0,6/1)

Aber mein Lehrer hat uns die Lösung schon gesagt und danach soll sich ergeben:

x= (0/-1/2) + k(1/1,5/2,5)


Was habe ich falsch gemacht?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lager zweier Ebenen
Zitat:
Original von brain21
Hallo!
Es soll die Lage zweier Ebenen untersucht werden, die durch ihre Koordinatengleichungen gegeben sind:

x1+x2-x3=1
4x1-x2-x3=3

Bei ergibt sich dann per Gauss -5x2 + 3 x3=-1
ich habe anschließend für x3= eine variable eingesetzt ich nenne sie hier der einfachkeit halber k

dann ergibt sich für x2= 3/5 k + 1/5
und für x1= 2/5 k + 4/5

es ergibt sich für die Schnittgerade die Gleichung:

x= (0,2/0,8/0) + k (0,4/0,6/1)

Aber mein Lehrer hat uns die Lösung schon gesagt und danach soll sich ergeben:

x= (0/-1/2) + k(1/1,5/2,5)


Was habe ich falsch gemacht?


das ROTE

und die z-komponente des aufpunktes ist - denke ich - 2

und schöner ist auch
brain21 Auf diesen Beitrag antworten »

wieso sollte sich per gauss nicht +3x3 ergeben?

des weiteren habe ich eine weitere aufgabe gerechnet
mit
-x1 + 2x2 + 5x3 = 10
und -2x1 -4x2 +x3 = 4

auch hier bekomme ich eine völlig andere lösung heraus als mir gesagt wurde:

ich:

x= (-14;-2;0) +k (7,25;1,125;1)

lehrer:

x0 (10/11;0;24/11) + k (2;1;0)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lager zweier Ebenen
Du hast bei deiner Geradengleichung lediglich wohl durch ein Versehen die 0,2 und die 0,8 vertauscht. Werner hat sich da geirrt.

Danach sehen die Geradengleichungen von dir und Lehrer zwar noch immer untrschiedlich aus, aber diese Form der Geradengleichung ist ja nicht eindeutig bestimmt. Der erste Vektor beschreibt einen beliebigen Punkt auf der Geraden. Und der Richtungsvektor ist nur bis auf einen Faktor bestimmt.
Du solltest also mal prüfen, ob nach obiger Korrektur die beiden Gleichungen nicht dieselbe Gerade beschreiben.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

pardon, ich sehe gerade, du hast x2 und nicht x1 verwendet

wenn ich beide gleichungen addiere habe ich im kopf

5x - 2z = 4 x = 2t, z = 5t - 2 und y = 3t - 1

ja wenn man´s kompliziert macht, hast du recht und man verrechnet sich leicht.

aber ich bekomme dann:

x3=k, x2=3/5k+1/5, x1= 4/5+2/5k



was mit meiner lösung oben übereinstimmt.
(ist halt ein anderer aufpunkt der geraden)

du hast bei den komponenten des punktes einen "sturz",
der rest ist richtig Freude

der lehrer bei der z-komponente einen VZ-fehler

also: wichtig ist der richtungsvektor, der muß immer gleich bzw. ein vielfaches (l.a.) sein.
der aufpunkt hängt davon ab, wie du den parameter wählst.
kontrolle: einsetzen in die (andere) geradengleichung.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lager zweier Ebenen
Zitat:
Original von Huggy
Du hast bei deiner Geradengleichung lediglich wohl durch ein Versehen die 0,2 und die 0,8 vertauscht. Werner hat sich da geirrt.

Danach sehen die Geradengleichungen von dir und Lehrer zwar noch immer untrschiedlich aus, aber diese Form der Geradengleichung ist ja nicht eindeutig bestimmt. Der erste Vektor beschreibt einen beliebigen Punkt auf der Geraden. Und der Richtungsvektor ist nur bis auf einen Faktor bestimmt.
Du solltest also mal prüfen, ob nach obiger Korrektur die beiden Gleichungen nicht dieselbe Gerade beschreiben.


ich habe mich da nicht geirrt, siehe unten bzw. oben
 
 
brain21 Auf diesen Beitrag antworten »

also war meine lösung bis auf den zahlendreher richtig? verwirrt

hab ich mich (schon wieder) verrechnet oder wieso ergibt sich bei der punktprobe bei mir keine eindeutige lösung?

hat zufällig jemand nachgerechnet ob die 2. aufgabe richtig gelöst ist?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lager zweier Ebenen
Zitat:
Original von riwe
Zitat:
Original von Huggy
Du hast bei deiner Geradengleichung lediglich wohl durch ein Versehen die 0,2 und die 0,8 vertauscht. Werner hat sich da geirrt.

Danach sehen die Geradengleichungen von dir und Lehrer zwar noch immer untrschiedlich aus, aber diese Form der Geradengleichung ist ja nicht eindeutig bestimmt. Der erste Vektor beschreibt einen beliebigen Punkt auf der Geraden. Und der Richtungsvektor ist nur bis auf einen Faktor bestimmt.
Du solltest also mal prüfen, ob nach obiger Korrektur die beiden Gleichungen nicht dieselbe Gerade beschreiben.


ich habe mich da nicht geirrt, siehe unten bzw. oben


Ich bin irritiert!
Du kommst auf die gleiche Geradengleichung wie brain21, wenn man seinen Zahlendreher korrigiert und behaupest trotzdem, dass er einen Fehler gemacht hat?

Aus
x1 + x2 - x3 = 1
4x1 - x2 - x3 = 3
folgt
-5x2 + 3x3 = -1
wie brain21 es geschrieben hat.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit keine eindeutige Lösung?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von brain21
also war meine lösung bis auf den zahlendreher richtig? verwirrt

hab ich mich (schon wieder) verrechnet oder wieso ergibt sich bei der punktprobe bei mir keine eindeutige lösung?

hat zufällig jemand nachgerechnet ob die 2. aufgabe richtig gelöst ist?


ja habe ich ja schon hergemalt, bis auf den dreher richtig Freude
brain21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Was meinst du mit keine eindeutige Lösung?

habe die punktprobe mit beiden gleichungen gemacht. also:
0= 0,8 + 0,4 k
-1 = 0,2 + 0,6 k
2 = k

es ergibt sich für k keine eindeutige lösung! danach dürften die durch die gleichungen beschriebenen gerade meines lehrers und meine nicht gleich sein!

auch bei zwei anderen des selben typs ist das der fall! bin jetzt total verunsichert!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von brain21
Zitat:
Original von Huggy
Was meinst du mit keine eindeutige Lösung?

habe die punktprobe mit beiden gleichungen gemacht. also:
0= 0,8 + 0,4 k
-1 = 0,2 + 0,6 k
2 = k

es ergibt sich für k keine eindeutige lösung! danach dürften die durch die gleichungen beschriebenen gerade meines lehrers und meine nicht gleich sein!

auch bei zwei anderen des selben typs ist das der fall! bin jetzt total verunsichert!


Mir ist immer noch nicht klar, was du da bei der 'Punktprobe' machst.

Deine Geradengleichung lautet



und die des Lehrers



k und k' sind Parameter und keine Zahlenwerte.
Um zu prüfen, ob diese Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben, ist zunächst zu prüfen, ob die beiden Richtungsvektoren (das sind die Vektoren hinter k und k') in dieselbe Richtung zeigen. Dazu muss der eine multipliziert mit einer geeigneten Zahl den anderen ergeben. Du musst also prüfen, ob du eine Zahl t findest, mit der gilt:



Ist das erfüllt, sind die Geraden zumindest parallel. Wenn sie dann noch mindestens einen Punkt gemeinsam haben, sind sie identisch. Nun beschreibt z. B. der Vektor



einen Punkt auf der Geraden des Lehrers, nämlich den mit k' = 0. Der liegt auch auf deiner Geraden, wenn du ein k findest, für das gilt:

brain21 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank!
dann ist meine lösung wohl doch richtig.

habe jetzt allerdings folgendes problem:

habe noch 2 weiter aufgaben gerechnet bei denen die lösungen wieder nicht übereinstimmen.

1)
-x1+2x2+5x3=10
-2x2-4x2+x3=4
Schnittgerade bei mir:
x= (14;-2;0) + k (-2/3/4; -9/8; 1)

Mein Lehrer allerdings:
x= (10/11; 0; 24/11) + k ( 2;1;0)

Die RV können also auf jenen Fall Vielfache sein

Das selbe Problem bei

2)
-2x1+3x2+4x3=12
-x1+4x2-3x3=0

Schnittgerade bei mir:
x= (-9/3/5 ; -2/2/5 ;0) + k(5/2/1)

Mein Lehrer:
x= (0; -1; -18/5) + k(1; 7/5; 1/5)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung der ersten Aufgabe ist definitiv richtig. Beim Ortsvektor des Lehrers ist noch in der z-Komponente ein Vorzeichenfehler, wie ja schon Werner angemerkt hat. Das mag ein reiner Schreib- oder Übertragungsfehler sein.

Die anderen Aufgaben schaue ich mir gerne auch an, aber vermutlich nicht mehr heute. Allerdings solltest du dazu die Details deiner Rechnung mitteilen.

Vielleicht übst du dabei auch ein wenig mit dem Formeleditor.
brain21 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist sehr nett von dir Augenzwinkern

Ich habe bereits die zweite Aufgabe abgetippt. Die dritte werde ich sobald wie möglich einfügen.

Die gegebenen Koordinatengleichungen sind:



Nach Gauss ergibt sich dann:




daraus folgt:








Es ergibt sich daher die Schnittgerade g:
brain21 Auf diesen Beitrag antworten »

Die dritte:

Die gegebenen Koordinatengleichungen sind:



Nach Gauss ergibt sich dann:




daraus folgt:








Es ergibt sich daher die Schnittgerade g:
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass du den Formeleditor benutzt hast. Das ist am Anfang etwas mühsam. Ich bin da auch noch in der Einübungsphase. Aber mit zunehmender Übung geht es dann schneller. Und die Formeln sind einfach besser lesbar.
Übrigens, Gleichungen schließt man nicht in Betragsstriche ein.

Deine Rechnung der zweiten Aufgabe ist richtig bis auf einen Vorzeichenfehler bei der letzten Umformung und ein vergessenes k. Korrekt ist:



Die Methodik zur Berechnung der Schnittgeraden beherrschst du einwandfrei. Es gibt keinen Grund zur Verunsicherung. Gegen gelegentliche Schreib- und Rechenfehler ist niemand gefeit.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die dritte Aufgabe ist ohne Fehl und Tadel!
brain21 Auf diesen Beitrag antworten »

hey Augenzwinkern

ich habe die betragstriche irgendwie nicht wegbekommen und dachte mir du bist so klug das nicht falsch zu verstehen smile

danke, dass du meine rechnungen nachgesehen hast!
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