Beweis für Punkt/Gerade-Abstandsformel im 3D-Raum

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Domas Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für Punkt/Gerade-Abstandsformel im 3D-Raum
Ich finde bei folgendem Beweis den Einstieg nicht:
Vorraussetung:
ist der Abstand zwischen der Gerade und dem Punkt

=0 , da ein Winkel von 90°vorhanden ist


Behauptung:
d(R,g)=

d(R,g) = Der gesuchte Abstand zwischen Punkt R und Gerade g

= Ortsvektor von R

= Stützvektor von g

= Einheitsvektor(also Länge=1) des Richtungsvektors von g

Beweis:.......
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für Punkt/Gerade-Abstandsformel im 3D-Raum
mach dir ein bilderl,
einstieg:pythagoras smile + unglücklich

edit, weil ich frech war, bekommst du das bilderl nachgereicht
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ja



also (wegen )



Am rechtwinkligen Dreieck siehst du



und es ergibt sich



Jetzt verwende den schon von riwe angedeuteten Satz des Pythagoras.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann das auch deuten als die bekannte Formel von Plücker:



(Du bekommst das sofort, wenn du den Flächeninhalt des von den Vektoren und aufgespannten Parallelogramms auf zwei Arten berechnest: 1. mit der Kreuzproduktformel, 2. mit der Formel "Grundseite mal Höhe".)

Und dann gilt ja bekanntlich



Dieser Zugang ist natürlich nicht so elementar wie der, den riwe und WebFritzi vorgeschlagen haben. Auf der anderen Seite vermittelt er vielleicht tiefere Einsichten in die Zusammenhänge der verschiedenen Produkte bei Vektoren.

Umgekehrt könnte man mittels des elementaren Beweisverfahrens diese Zusammenhänge herleiten.
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