Extremstellen? Wendestellen? Nullstellen? |
| 03.09.2008, 21:03 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremstellen? Wendestellen? Nullstellen? sooo...jetzt zu meiner frage ^^ bei mir hängt es richtig arg, wenn es um Extremstellen Wendestellen und Nullstellen geht. Ich kann die drei Bereiche voneinader gar nicht unterscheiden. Wann man welches Verfahren verwendet weiß ich überhaupt nicht. Ich brauche jetzt dringend eure Hilfe. Ihr müsst es mir gut beibringen =) dankeee schon im Voraus! |
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| 03.09.2008, 21:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, als Vorarbeit könntest du das mal lesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion Und eine Nullstelle ist i.A. wohl ein "x-Wert" dessen Funktionswert "f(x)=0" ist. 
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| 03.09.2008, 21:10 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles zu diesem Thema wird Dir hier wohl keiner mal eben beibringen können...
Kannst Du die Begriffe Null-, Extrem- und Wendestelle denn anschaulich definieren? Also kennst Du die grobe Bedeutung? Und was meinst Du mit den "Verfahren"? Die Bedingungen für die Stellen? |
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| 03.09.2008, 21:26 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja also ich erwarte natürlich nicht, dass ihr mir alles klar un deutlich erklärt, aber so grob würde es ja schon gehen =) oder?? hmm.. um die Nullstellen herauszubekommen, muss man die Funktion gleich 0 setzten. Und wenn ich einen x-Wert herauskriege, was sagt dann dieser Wert aus? für was ist es wichtig? Welche Stelle ist es auf dem Schaubild? |
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| 03.09.2008, 21:29 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ähm ehrlich gesagt kann ich nichts mit den Begrifften anfangen, außer dass ich bei den Extrem- und Wertstellen zuerst die Funktion ableiten und dann irgendwie ...die hinreichende und notwendige bedingung anwenden muss, aber wieso und wann ich es machen muss, weiß ich nicht *rot werd* |
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| 03.09.2008, 21:34 | NatürlicheZahl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also vielleicht hilft dir ja das hier: 1. Nullstellen: Wir betrachten mal die Funktion : Um Nullstellen zu bestimmen muss untersucht werden, wo der Funktionswert ist. Sollte soweit deutlich sein. Nun wollen wir von der oben gezeigten Funktion die Nullstellen bestimmen: Dies können wir auflösen: Somit wissen wir, dass an den Stellen und die Funktion gleich 0 ist, d.h. Nullstellen vorhanden sind (siehe Funktion oben) 2. Extrempunkte: Das notwendige Kriterium zur Bestimmung von Extremstellen ist: Zu Deutsch: Die Ableitung der Funktion muss an einer Stelle den Wert 0 haben, damit eine Extremstelle vorliegt (waagerechte Tangente). Das hinreichende Kriterium zur Bestimmung von Extremstellen ist: . Das heißt auf Deutsch, dass man die vermutliche Extremstelle, die man mit dem notw. Kriterium errechnet hat, in die 2. Ableitung der Funktion einsetzen soll und wenn der Term ungleich Null ist, hast du eine Extremstelle bestimmt. Ein anderer Lösungsweg wäre, wenn man nicht die 2. Ableitung bilden möchte/kann, die Funktion um die Stelle auf Vorzeichenwechsel zu prüfen. 3. Extrempunkte: Das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist: Das hinreichende lautet: . Vielleicht hilft dir das ja ein wenig. |
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| 03.09.2008, 21:35 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Stelle(n), die Du beim Lösen der Gleichung f(x) = 0 erhältst, sind genau die, bei denen der zugehörige Funktionswert 0 ist. An diesen Stellen schneidet oder berührt der Graph die x-Achse. Zum anderen: Wenn Du die wichtigen Begriffe alle nicht mehr parat hast, ist das Forum m. E. die falsche Anlaufstelle und ein Blick in die Schulbücher/Aufzeichnunen wäre besser. Einfach weil sich das Thema nicht mal eben so von Grund auf erklären lässt. Aber Du kannst es natürlich versuchen... // Tut mir leid, NatürlicheZahl, ich hatte Deinen Beitrag nicht mehr gesehen... |
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| 03.09.2008, 21:45 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Jacques: ähm ich kucke mir meine Aufschriebe im Heft seit mehreren Wochen an, ich habe oft versucht es zu verstehen, aber es ist mir nie gelungen, deswegen versuche ich es gerade hier im forum. =) ich hoffe auch, dass ihr mir helfen könnt. =) muss jetzt mal gleich den obigen beitrag lesen ^^ hihih |
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| 03.09.2008, 21:49 | NatürlicheZahl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es ist immernoch "gucken" und nicht "kucken" 
Außerdem finde ich, sollte man verwandte/synonyme Wörter benutzen, da sich "gucken" sehr platt an hört. Wie wäre es mit schauen, durchlesen o.ä. 
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| 03.09.2008, 21:51 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jaja =) ich werde jetzt SCHAUEN, dass ich nicht mehr das Wort verwende ^^ |
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| 03.09.2008, 22:06 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ NatürlicheZahl (=D): deine Erklärung zu den Nullstellen habe ich verstanden, und bevor ich jetzt mit den Extremstellen weiter mache, will ich noch etwas fragen unnnd zwar: wenn ich z.B. die Funktion f(x)= 3*x^2 + 6* x^4 einmal ableite, dann heißt ja meine funktion: f'(x)= 6*x + 24*x^3. Ich habe gerade beide FUnktionen in meinen Taschenrechner eingegeben, und musste feststellen, dass die 2.Funktion also des f'(x) geraade aus durch den Nullpunkt geht. Ist es bei allen Funktionen so, dass sie bei der 1.Ableitung IMMER durch den Nullpunkt gehen? 
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| 03.09.2008, 22:15 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich mache mal weiter, NatürlicheZahl ist nicht mehr online...
Nein, das ist hier zufällig so, weil die Ableitungsfunktion kein konstantes Glied hat, d. h. sie hat keine einzelne Zahl als Summand, in jedem Summand kommt x als Faktor vor. Wenn man dann 0 für x einsetzt, lautet auch der zugehörige Funktionswert 0. Also geht der Graph durch den Punkt (0|0) Aber das gilt nicht immer! Gegenbeispiel: f(x) = 3x² + 2x |
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| 03.09.2008, 22:48 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm ..verstehe.. aber ich bin mir noch nicht so im klaren, was die Extremstelle betrifft. Wenn ich die notwendige und hinreichende Bedingung habe, welche Stelle ist es denn genau auf dem Schaubild?:/ ich muss es mir bildlich vorstellen können, sonst geht bei mir gar nichts ^^ |
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| 03.09.2008, 22:59 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Extrempunkt ist ja der höchste Punkt eines "Bergs" oder der tiefste Punkt eines "Tals". Wenn man an diese Punkte die zugehörige Tangente legt, dann ist die Tangente immer waagrecht, d. h. sie hat eine Steigung von 0. (wie NatürlicheZahl schon geschrieben hat). Man kann potentielle (!) Extrempunkte also herausfinden, indem man diejenigen Punkte sucht, deren Tangente die Steigung 0 hat. Tatsächlich reicht es schon, wenn man nach den x-Werten ("Stellen") der Punkte sucht, denn ein Punkt ist durch seinen x-Wert schon eindeutig bestimmt. OK? Jetzt muss man sich nur noch klar machen, dass die Ableitungsfunktion f' einer Funktion f jeder Stelle (x-Wert) a die Steigung im Punkt (a|f(a)) zuordnet. Mit mit f'(4) erhält man z. b. die Steigung im Punkt (4|f(4)). Um die Stellen zu erhalten, an denen die Tangentensteigung 0 ist, setzt man f'(x) = 0 und löst die Gleichung nach x auf -- an genau diesen Stellen a gilt f'(a) = 0. |
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| 03.09.2008, 23:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Jaques: Denk dran, du beschreibst lokale Extremstellen, keine globalen.
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| 03.09.2008, 23:13 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm...die Extremstelle gibt also nur den höchsten bzw.tiefsten Koordinatenpunkt der Ableitungsfunktion f'(x) ...oder doch nur von f(x) ??^^ |
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| 03.09.2008, 23:14 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und genau was sind globale und lokale extremstellen? :/ |
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| 03.09.2008, 23:19 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hoffe, die Unterschiede zwischen "Punkt", "Stelle", "Koordinate" und "Funktionswert" sind Dir noch geläufig.
Denn sonst wird es echt schwierig... Der globale Extrempunkt ist derjenige Punkt von f, der insgesamt am höchsten oder niedrigsten liegt. Also der absolut niedrigste oder höchste Punkt. Ein lokaler Extrempunkt ist ein Punkt, der in einem bestimmten Bereich der höchste oder niedrigste Punkt ist (das meinte ich mit der "Berg-und-Tal-Darstellung"!)
Wie kommst Du darauf? f' ist doch einfach nur eine "Hilfsfunktion", um die Tangentensteigungen zu bestimmen -- es geht um die Funktion f! Und wie gesagt: Lokale Extrempunkte sind nicht unbedingt die absolut höchsten oder tiefsten Punkte. |
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| 04.09.2008, 12:37 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahhhhhhhhhhhhhhh jetzt verstehe iches! danke für die suppperrr erklärung! Dann muss das globale Maximum und Minimum die Randwertbetrachtungen sein oder? also das Intervall das ich mir anschaue? |
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| 04.09.2008, 12:41 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht ganz: Beim (globalen) Maximum/Minimum der Funktion sieht man sich die gesamte Funktion an. Das Maximum ist der größte Funktionswert überhaupt, das Minimum der kleinste Funktionswert überhaupt. (beides gibt es nicht immer!) Beim lokalen Maximum/Minimum geht es um einzelne Intervalle: Ein Funktionswert heißt lokales Maximum/Minimum, wenn er in einem offenen Intervall (also ohne die Randpunkte) der größte bzw. kleinste ist. |
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| 04.09.2008, 12:57 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm.. des ist ja praktisch des was du mir davor auch erklärt hast, nur ausführlicher ;-) danke! |
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| 04.09.2008, 13:00 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst ja als Übung mal folgende Aufgabe machen: Welches (globale) Minimum hat die Funktion (der Definitionsbereich soll nur die nichtnegativen reellen Zahlen enthalten) |
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| 04.09.2008, 13:10 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm ..vllt.. D={-oo; 0]\R ? |
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| 04.09.2008, 13:12 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
? Das Minimum ist doch ein Funktionswert, also eine Zahl. |
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| 04.09.2008, 13:14 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm.die Zahl 1 oder wie? |
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| 04.09.2008, 13:18 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die 1 wird aber schon an der Stelle 2 unterschritten: f(2) = 1/2. Das kann also nicht der kleinste Funktionswert sein. Der Verlauf der Funktion ist ja so: Nahe bei der Stelle 0 sind die Funktionswert extrem groß (berechne mal f(0,0001) und f(0,0000001) und so). Je weiter man dann auf der x-Achse nach rechts geht, d. h. je größere Stellen man betrachtet, desto kleiner werden die Funktionswerte. Der Graph nähert sich immer weiter der x-Achse an, wobei er sie nie unterschreitet. Welche Vermutung hast Du dann für das Minimum? |
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| 04.09.2008, 13:28 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm..ich muss kleinere Stellen betrachten, d.h. ich muss große Funktionswerte einsetzen, oder? :/ |
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| 04.09.2008, 13:32 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Funktionswerte werden nicht eingesetzt, sondern man berechnet sie, indem man die Stellen in die Vorschrift einsetzt. Die Frage war einfach: Was ist (wahrscheinlich) der kleinste Funktionswert der Funktion? Also was ist der kleinste "y-Wert"? Hier nochmal der Graph: |
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| 04.09.2008, 20:57 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry aber ich verstehe es gerade gar nicht. Ich sag jetzt einfach mal, dass der kleinste y-Wert 0 ist. sorry wenn es nicht stimmt 
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| 04.09.2008, 21:03 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt doch! 
Wobei 0 nur das scheinbare Minimum ist, weil die Funktionswerte der 0 zwar unendlich nahe kommen, aber kein Funktionswert tatsächlich 0 ist. (durch welches x sollte man den Bruch 1/x auch zu 0 bekommen?) Also das wäre eine Funktion, die kein globales Minimum hat. |
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| 04.09.2008, 21:16 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hhmmm und was wäre es bei den negativen reelen Zahlen? auch 0? |
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| 04.09.2008, 21:25 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei den negativen reellen Zahlen gibt es ebenfalls kein Minimum, weil die Funktion ins Unendliche fällt (sie ist nach unten unbeschränkt): |
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| 04.09.2008, 21:29 | schülerin1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm ok jetzt ist mir alles klar =) viele dank für die ganzen Erklärungen!!! |
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| 04.09.2008, 21:36 | NatürlicheZahl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht sollte man hier noch für schülerin1991 ergänzen, dass man das ganze dann so ausdrückt: Gesprochen dann: Wenn x gegen unendlich geht, dann geht der Funktionwert f(x) gegen 0. |
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