Gleichseitiges Dreieck

01.06.2006, 18:54	dannyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichseitiges Dreieck So, bereits wieder meine nächste Frage...aber wahrscheindlich meine letzte :P Den morgen Abend ist die Mathe-Matur vorbei. Wie ist bei dieser Aufgabe (siehe Anhang) vorzugehen? Habe absolut keinen Plan, nicht mal einen Ansatz...resp. die Ansätze die ich hatte, waren absolut falsch. Leider habe ich nur die Lösung zum ganzen, ohne irgend welche Tipps zum Rechnungsweg. Wenn mir dabei jemand behilflich sein könnte...Ausschauen tut die Aufgabe ganz simpel... Vielen Dank an die Helfenden. Gruss Danny
01.06.2006, 19:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte das Dreieck $\begin{eqnarray} PDF \end{eqnarray}$ mit der gesuchten Seite $\begin{eqnarray} x=\overline{PD} \end{eqnarray}$ : Aus Symmetriegründen ist dann auch $\begin{eqnarray} \overline{FR}=x \end{eqnarray}$ und somit durch Differenzbildung $\begin{eqnarray} \overline{PF} = \overline{PR}-\overline{FR} = a-x \end{eqnarray}$ . Zusammen mit $\begin{eqnarray} \overline{DF}=b \end{eqnarray}$ kennst du jetzt in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ alle Seitenlängen in diesem Dreieck $\begin{eqnarray} PDF \end{eqnarray}$ und zudem noch den Winkel $\begin{eqnarray} \overline{\angle DPF} = 60^{\circ} \end{eqnarray}$ . Das ermöglicht dir via Kosinussatz, eine Gleichung für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aufzustellen und die dann zu lösen.
01.06.2006, 19:05	Ny	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde folgendes probieren: Berechne den Flächeninhalt vom großen und kleinen Dreieck. Bilde dann die Differenz von den beiden und teile die dann durch drei. Jetzt kannst du ja $\begin{eqnarray} A_{PDF}=0,5 \overline{PD}\overline{PF}sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$ nach PD umstellen und PF durch die eine Differenz ausdrücken. Jetzt musst Du nur noch auflösen...
01.06.2006, 19:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ny Schöner Ansatz! Bin fast ein bisschen neidisch drauf, weil er im Vergleich zu meinem Weg algebraisch ein paar Umformungsschritte auf dem Weg zur Bestimmungsgleichung von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ spart.
01.06.2006, 19:23	dannyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Ich komme dabei auf folgende Gleichung/Lösung $\begin{eqnarray} x^2=b^2+(a-x)^2-2b\cdot(a-x)\cdot cos(60°) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\frac{a^2-ab+b^2}{2a-b} \end{eqnarray}$ Die offizielle Lösung meint aber folgendes: $\begin{eqnarray} x=\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{12b^2-3a^2}}{6} \end{eqnarray}$ Habe dabei ich einen Fehler gemacht? edit: latex geklammert, werner
01.06.2006, 19:27	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
auf den 1. blick: du hast einen fehler gemacht. dem 60°-winkel liegt die seite b gegenüber! werner
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01.06.2006, 19:40	dannyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, war nur ein Flüchtigkeitsfehler...bin etwas übermüdet jetzt...bin doch schon wieder 3 Stunden Non-Stop dran, mal ne kurze Pause noch einlegen ^^ Neue Gleichung (ohne Fehler) $\begin{eqnarray} b^2=(a-x)^2+x^2-2(a-x)\cdot x\cdot cos(60°) \end{eqnarray}$ Nochmals danke an euch...ihr seit echt spitze...so schnell eine kompetente Hilfe zu bekommen ist sehr selten...schätze es richtig!

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