Gerade oder ungerade Funktion

04.09.2008, 07:59

eierkopf1

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Gerade oder ungerade Funktion

Hallo!

Ich habe hier ein Beispiel:

[attach]8561[/attach]

Bei Fourier-Reihen ist es ja wichtig bzw. rechnerisch einfacher und schneller, wenn man weiß, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist.

Im Buch steht, dass diese Funktion ungerade wäre und somit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ 0 sind.

Wenn ich mehrere Teilfunktionen, wie bei diesem Beispiel habe, dann müssen doch alle die selbe Symmetrieeigenschaft besitzen, damit die Gesamtfunktion gerade oder ungerade ist, oder?

Ich prüfe es jetzt so:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -f(-x) \end{eqnarray*}$ --> ungerade

ODER

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(-x) \end{eqnarray*}$ --> gerade

Dann wähle ich eine Teilfunktion aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-2 \end{eqnarray*}$

und setze für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das ein: $\begin{eqnarray*} (-x) \end{eqnarray*}$

Bei dieser Teilfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ und somit gerade. Dies gilt hier auch für die weiteren Teilfunktionen, weil sie alle vom "gleichen Typ" sind. Aber im Buch steht,dass sie ungerade wäre. Das muss auch stimmen, denn $\begin{eqnarray*} b_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ , was nur bei geraden Funktionen wäre.

Wo liegt mein Denkfehler?

mfg

04.09.2008, 08:30

klarsoweit

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RE: Gerade oder ungerade Funktion

Zitat:

Original von eierkopf1
Dann wähle ich eine Teilfunktion aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-2 \end{eqnarray*}$

und setze für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das ein: $\begin{eqnarray*} (-x) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist doch, für welches Intervall für x überhaupt f(x)=-2 ist?

04.09.2008, 13:23

eierkopf1

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RE: Gerade oder ungerade Funktion

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Dann wähle ich eine Teilfunktion aus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-2 \end{eqnarray*}$

und setze für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das ein: $\begin{eqnarray*} (-x) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist doch, für welches Intervall für x überhaupt f(x)=-2 ist?

Danke für die Antwort!

Für das Interval: $\begin{eqnarray*} -\frac{2\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Nur was sagt mir das verwirrt

verwirrt

mfg

04.09.2008, 13:31

klarsoweit

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RE: Gerade oder ungerade Funktion
Wenn du jetzt zu einem x aus diesem Intervall das -x bildest, in welchem Intervall landest du dann?

04.09.2008, 14:16

eierkopf1

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RE: Gerade oder ungerade Funktion

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn du jetzt zu einem x aus diesem Intervall das -x bildest, in welchem Intervall landest du dann?

Wenn ich $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ nehme und jetzt dann auf $\begin{eqnarray*} -x=2 \end{eqnarray*}$ umforme, dann ist es nicht im Intervall.

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ nehme und jetzt dann auf $\begin{eqnarray*} -x=-(-2) \end{eqnarray*}$ umforme, dann ist es wieder $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das? Und es müssen alle Teilfunktionen die gleiche Symmetrieeigenschaft besitzen, damit die Gesamtfunktion diese Symmetrieeigenschaft besitzt.

mfg

04.09.2008, 14:34

klarsoweit

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RE: Gerade oder ungerade Funktion

Zitat:

Original von eierkopf1
Wenn ich $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ nehme und jetzt dann auf $\begin{eqnarray*} -x=2 \end{eqnarray*}$ umforme, dann ist es nicht im Intervall.

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ nehme und jetzt dann auf $\begin{eqnarray*} -x=-(-2) \end{eqnarray*}$ umforme, dann ist es wieder $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ .

Hää?

verwirrt

Ich wollte das hören:

Wenn $\begin{eqnarray*} -\frac{2\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} < -x < \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$
Auf dem zweiten Intervall hat die Funktion den Wert 2. Also gilt: f(x) = -2 = -f(-x)

Zitat:

Original von eierkopf1
Und es müssen alle Teilfunktionen die gleiche Symmetrieeigenschaft besitzen, damit die Gesamtfunktion diese Symmetrieeigenschaft besitzt.

Ja.

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04.09.2008, 14:40

eierkopf1

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RE: Gerade oder ungerade Funktion

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von eierkopf1
Wenn ich $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ nehme und jetzt dann auf $\begin{eqnarray*} -x=2 \end{eqnarray*}$ umforme, dann ist es nicht im Intervall.

Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ nehme und jetzt dann auf $\begin{eqnarray*} -x=-(-2) \end{eqnarray*}$ umforme, dann ist es wieder $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ .

Hää?

verwirrt

Ich wollte das hören:

Wenn $\begin{eqnarray*} -\frac{2\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} < -x < \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$
Auf dem zweiten Intervall hat die Funktion den Wert 2. Also gilt: f(x) = -2 = -f(-x)

Zitat:

Original von eierkopf1
Und es müssen alle Teilfunktionen die gleiche Symmetrieeigenschaft besitzen, damit die Gesamtfunktion diese Symmetrieeigenschaft besitzt.

Ja.

Danke für die Antwort!

Dh, ich versuche das Intervall mit $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ zu bilden und wenn es das selbe Intverall ist, dann ist sie gerade, oder?

mfg

04.09.2008, 14:44

klarsoweit

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RE: Gerade oder ungerade Funktion
Nein. Du mußt einfach die Beziehungen f(x) = f(-x) bzw. f(x) = -f(-x) prüfen. Dabei mußt du bei abschnittsweise definierten Funktionen schauen, in welchem Abschnitt du landest, wenn du von x nach -x wechselst. Dann den Funktionsterm nehmen, der eben für diesen Abschnitt vorgesehen ist.

EDIT: und bitte zitiere nicht immer meine kompletten Beiträge. Das bläht die Sache nur auf und bringt eigentlich nichts.

07.09.2008, 10:08

eierkopf1

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RE: Gerade oder ungerade Funktion
Jetzt habe ich wieder ein Problem, bei dem ich nicht ganz verstehe, warum sie gerade ist:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, ~x \in [-\pi;0] \\ -\frac{x}{2}, ~x \in [0;\pi] \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wenn ich sie zeichne, sehe ich, dass sie symmetrisch zur y-Achse ist.

Wenn ich jetzt die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) =\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ hernehme und überprüfen will, ob sie gerade/ungerade oder beides nicht ist, dann gehe ich so vor:

$\begin{eqnarray*} g(x)=g(-x) \end{eqnarray*}$ für gerade Funktionen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \neq \frac{-x}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich es mit dem Intervall versuche:

$\begin{eqnarray*} -\pi \leq x \leq 0 \end{eqnarray*}$

dann bin ich doch in diesem Intervall:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq -x \leq \pi \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler?

mfg

07.09.2008, 10:22

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Welcher Fehler? Einmal sprichst du von der geraden Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = - \frac{|x|}{2} \end{eqnarray*}$

und dann wieder von der ungeraden Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Irgendwas mengst du bei den beiden durcheinander. unglücklich

unglücklich

07.09.2008, 10:27

eierkopf1

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RE: Gerade oder ungerade Funktion
Danke für die Antwort

Sagen wir es so:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} g(x) \\ h(x) \end{cases} \end{eqnarray*}$

dann habe ich $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ "herausgesplittet" und diese auf Symmetrieeigenschaften untersucht, weil ich dachte, wenn alle Funktionsterme gerade sind, ist auch die Gesamtfunktion gerade, stimmt das nicht?

mfg

07.09.2008, 10:33

Huggy

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RE: Gerade oder ungerade Funktion
Vielleicht wird es dir klarer, wenn du statt x einen konkreten Wert nimmst.
Berechne f(1) mit deiner Funktion. Und Jetzt berechne f(-1) und vergleiche die Ergebnisse.

07.09.2008, 10:41

eierkopf1

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RE: Gerade oder ungerade Funktion
Ich glaube, ich sehe meine Fehler.

Ich darf nicht die Teilfunktionen einzeln betrachten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} g(x) \\ h(x) \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\begin{cases} g(-x) \\ h(-x) \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, ~x \in [-\pi;0] \\ -\frac{x}{2}, ~x \in [0;\pi] \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\begin{cases} \frac{-x}{2}, ~x \in [-\pi;0] \\ -\frac{-x}{2}, ~x \in [0;\pi] \end{cases} \end{eqnarray*}$

umgeformt:

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\begin{cases} \frac{-x}{2}, ~x \in [-\pi;0] \\ \frac{x}{2}, ~x \in [0;\pi] \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und sehe ich, dass es $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ vertauscht sind, und dann kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ gerade ist?

mfg

07.09.2008, 10:52

AD

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Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} f(-x)=\begin{cases} \frac{-x}{2}, ~x \in [-\pi;0] \\ -\frac{-x}{2}, ~x \in [0;\pi] \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das ist doch wieder Unsinn. Der Grund ist, weil du drei Schritte auf einmal machst. Geh doch mal langsam ran bei der Aufstellung von $\begin{eqnarray*} f(-x) \end{eqnarray*}$ :

1.Fall: $\begin{eqnarray*} x\in [-\pi;0] \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} x_1:=-x\in [0;\pi] \end{eqnarray*}$ , was dem zweiten Zweig der Funktion entspricht. Eingesetzt dort ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f(-x) = f(x_1) = -\frac{x_1}{2} = -\frac{-x}{2} = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

2.Fall: $\begin{eqnarray*} x\in [0;\pi] \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} x_2:=-x\in [-\pi,0] \end{eqnarray*}$ , was dem ersten Zweig der Funktion entspricht. Eingesetzt dort ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f(-x) = f(x_2) = \frac{x_2}{2} = -\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ .

Also ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f(-x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & \;\mbox{für} \; x \in [-\pi;0] \\ -\frac{x}{2} & \;\mbox{für} \; x \in [0;\pi] \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

07.09.2008, 11:20

eierkopf1

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Ich betrachte die Gesamtfunktion in so viele Fälle, wie es Teilfunktionen gibt.

Man untersucht zuerst den 1. Fall bzw. die erste Teilfunktion:
Dann schaut man, wenn man $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ einsetzt, in welchem Intervall man landet. Landet man im Intervall einer anderen Teilfunktion, dann setzt man $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ bei dieser ein. Dann formt man gegebenfalls um, und schaut, ob man die selbe Teilfunktion, wie bei diesem betrachteten Fall, wieder erhält.

Dann zum 2. Fall usw.

Richtig?

mfg

08.09.2008, 08:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von eierkopf1
Dann formt man gegebenfalls um, und schaut, ob man die selbe Teilfunktion, wie bei diesem betrachteten Fall, wieder erhält.

Besser: Man schaut, ob man den gleichen Funktionswert oder das -1-fache des ursprünglichen Funktionswertes erhält. Sonst ok.

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