die Ebenendarstellung

03.06.2006, 19:58

Soulstone

die Ebenendarstellung

Hallöchen:-)

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Aufgaben richtig gelöst habe.
Und zwar soll jeweils die Ebenendarstellung aufgestellt werden.

Einmal ist eine Gerade und ein Punkt vorgegeben.

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3\\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; P(1/-4/-1)

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3\\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -3\\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und einmal sind nur 3 Punkte vorgegeben.

P(1/2/3), Q(2/3/4), R(3/4/5)

als Ebenendarstellung hab ich nun
$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1\\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -2\\ -2\\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und da die beiden Richtungsvektoren das Vielfache voneinander sind, sind sie zueinander kollinear (ist das richtig formuliert?). Die drei Punkte liegen somit auf einer Geraden und können folglich keine Ebene aufspannen.
Vielen Dank schon einmal smile

03.06.2006, 20:01

marci_

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überprüfe bei deiner 1. ebenegleichung nochmals den zweiten spannvekor, da hat sich ein vorzeichenfehler eingeschlichen...

03.06.2006, 20:15

aRo

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ist bestimmt nur ein Tippfehler smile

Sonst ist alles richtig, auch deine Formulierung.

04.06.2006, 13:27

Soulstone

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ou ja, ist -4 statt 4;-)

Danke danke Freude

05.06.2006, 10:28

Soulstone

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Okay, also jetzt nur noch einmal um sicher zu gehen:

Wenn ich zwei Geraden habe, die parallel zueinander sind (und nicht identisch!) bekomme ich meine Ebenendarstellung, indem ich die Stützvektoren der beiden Geraden voneinander subtrahiere und somit meinen zweiten Richtungsvektor bekomme.

Haben die beiden Geraden aber einen gemeinsamen Schnittpunkt, dann bekomme ich die Ebenendarstellung einfach, indem ich den die Richtungsvektoren der beiden Geraden übernehme.

:thumb smile

....oder

05.06.2006, 11:30

marci_

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Zitat:

Original von Soulstone
Okay, also jetzt nur noch einmal um sicher zu gehen:

Wenn ich zwei Geraden habe, die parallel zueinander sind (und nicht identisch!) bekomme ich meine Ebenendarstellung, indem ich die Stützvektoren der beiden Geraden voneinander subtrahiere und somit meinen zweiten Richtungsvektor bekomme.

ja, sofern du einfach den richtungsvektor der geraden als einen spannvektor der ebene, den stützvektor der geraden als "aufpunkt" der ebene wählst und dann, wie du schon sagstest, den differenzvektor der beiden "aufpunkte" als zweiten spannvektor der ebene wählst...

Zitat:

Haben die beiden Geraden aber einen gemeinsamen Schnittpunkt, dann bekomme ich die Ebenendarstellung einfach, indem ich den die Richtungsvektoren der beiden Geraden übernehme.

ja und dann halt den schnittpunkt als "aufpunkt" der ebene...

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