Iteratonsfunktionen für PI

04.06.2006, 02:10

oerny

Iteratonsfunktionen für PI

Ich muss folgenden Aufgabe lösen:
Bestimmen Sie mit einem TKP einen auf 12 Stellen genauen Näherungswert der Kreiszahl PI, indem Sie den Kreisumfang
durch die Umfänge ein-bzw. umbeschriebener regelmaiger Polygone approximieren.
Verwenden Sie dabei die Iterationsfunktionen:

$\begin{eqnarray*} (1)s:x \mapsto \frac{x}{\sqrt{2*(1+\sqrt{1-x^2}})} Startwert \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) f: (x,y) \mapsto (x',y') mit y' := \frac{2xy}{x+y} , x' := \sqrt{x*y'} Startwerte (6, 4\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie, dass dir Interationsfunktion in (1) und (2) Näherungsfolgen für die Kreiszahl Pi liefern

Das hab ich mir überlegt/probiert:
des handelt sich bei (1) und (2) um zwei unabhänige Iterationen.
also hab ich versucht in Excel von 0,5 bis 1 die Zahlen in (1) einzusetzen bekomme aber keinen Wert bzw keine Werte mit denen ich etwas anfangen kann (auch keinen eindeutigen Grenzwert bei 1 ca 0,71 also auch nicht Pi/4 oder ähnliches)
zu (2) hab ich im moment garkeine idee.

Wie mach ich sowas und wie beweis ich sowas? oder gelten die ergbnisse als beweis?

04.06.2006, 12:00

Leopold

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(a) ist irgendwie unvollständig. Es wird hier nur die Seite eines den Kreis approximierenden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Ecks berechnet. Multipliziere die Iteration im $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Schritt mit $\begin{eqnarray*} 6 \cdot 2^n \end{eqnarray*}$ . Für den Startwert ist $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ . (Dieses Verfahren ist allerdings numerisch instabil.)

(b) ist das Archimedes-Gregory-Verfahren; Herleitung siehe z.B. hier, (1.9) und (1.10).

04.06.2006, 12:02

20_Cent

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verschoben

passt besser in höma, würde ich sagen...

mfg 20

PS: wenn $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ gleich 3 ist, dann ist die Aufgabe ziemlich sinnlos Big Laugh

04.06.2006, 12:34

Leopold

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Zitat:

Original von 20_Cent
PS: wenn $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ gleich 3 ist, dann ist die Aufgabe ziemlich sinnlos Big Laugh

Und man könnte dann folgende Iteration zur Berechnung angeben.

1. schreibe 3 hin
2. gehe zu 1.

Big Laugh

04.06.2006, 13:19

oerny

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also ich komm damit leider immernoch nicht zum streich bzw weis nicht ob das was ich gemacht habe stimmen kann.

mein Versuch
habe n = 0 begonnen dann als x =1/2 gewählt. die Funktion berechnet und das ergebniss als x wert für n=1 genommen. die ergebnisse der Funktion hab ich dann mit $\begin{eqnarray*} 6*2^n \end{eqnarray*}$ multipliziert, dan bekomm ich ungefähr $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ raus. einfach noch mal 2 machen oder bei n=1 starten? dann kommt beim ersten schritt schon fast $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ raus.
Woher kommt aber $\begin{eqnarray*} 6*2^n \end{eqnarray*}$ , ist das die Berechnung der Seitenzahl?.und woher kommt der startwert 1/2, oder wird der einfach gegeben?
Dazu unten auch ein Screenshot (erster Schritt n=1 auch wenns normal 0 sein müsste). finde das Sieht gut aus.

Zum 2.Teil der Aufgabe: müsste es doch so wie im 2. bild passen oder?

achja und das $\begin{eqnarray*} \pi = 3 \end{eqnarray*}$ hab ich bei den Simpsons gelernt, und wäre mir im moment auch lieber....

Danke für die Hilfe!

05.06.2006, 15:16

oerny

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da keiner was sagt gehe ich mal davon aus das die aufgabe soweit stimmt ( das mit n=0 oder n=1 könnt man auch als start bei 6 oder 12 eck sehen denk ich)

Aber wie beweis ich jetzt das die Iterationsfunktionen Näherungsfolgeb für die Kreiszhal liefern. hab sowas noch nie gemacht und wirklich garkeine idee!

12.06.2006, 13:35

oerny

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muss nun doch nochmal fragen, vielleicht weis ja doch noch einer was:
die formel die ich nutze berechnet ja die seitenlänge eines sechsecks, wenn ich aber beim ersten schritt 1/2 einsetze müsste das doch für ein 6 eck gelten und nicht wie bei mir für ein 12 eck. wo ist denn mein fehler?

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