Stochastische Algorithmen - Hilfe für Seminarvortrag

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04.06.2006, 15:18	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Algorithmen - Hilfe für Seminarvortrag hallo zusammen ich muss in 3 wochen einen seminar vortrag über stochastische algorithmen speziell über klassische markovketten-monte-carlo-methoden halten beim lesen des skripts, der mir als vorlage dient, sind einige verständniss probleme, vor allem was die notation angeht und teilweise auf grund fehlender physikalischer kenntnisse, aufgetreten, da ich diese woche keine uni habe und ich auch nicht ständig beim prof nachfragen will, hoffe ich dass mir hier jemand ein paar sachen erklären kann wer sich für den gesamten skript interessiert, den gibt es hier. es geht um kapitel 5 also los geht es ers ma mit problem 5.1.3: in einem beispiel kommt ein $\begin{eqnarray} I=S^{A_n} \end{eqnarray}$ vor, wobei S eine endliche Menge, genannt Spinraum, und $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ eine Box im d dimensionalen Gitter ist. jetzt hab ich probleme mir die elemente aus I vorzustellen, liege ich richtig, dass es sich dabei um vektoren der grösse d+1 handelt, wobei d einträge die koordinaten im gitter und ein eintrag den zustand beschreibt?
04.06.2006, 15:53	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stochastische Algorithmen - Hilfe für Seminarvortrag S ist eine endliche Menge von Spins und jedem Gitterpunkt ist ein solcher Spin zugeordnet, würde ich sagen. (I ist demnach eine Menge von Abbildungen von $\begin{eqnarray} \Lambda_n \end{eqnarray}$ nach S ?) Grüße Abakus ** ich verschiebs mal zur Stochastik **
04.06.2006, 16:17	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stochastische Algorithmen - Hilfe für Seminarvortrag also ist $\begin{eqnarray} i \in I \end{eqnarray}$ der zustand des gesamten raumes und nicht nur eines einzigen punktes? das würde einiges klarer machen
06.06.2006, 10:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es, es geht also um eine gesamte "Gitterbelegung". Normalerweise steht $\begin{eqnarray} V^U \end{eqnarray}$ nur als Abkürzung für die Menge der Abbildungen von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . D.h., $\begin{eqnarray} g\in V^U \end{eqnarray}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} g:\;U\to V \end{eqnarray}$ .
16.06.2006, 14:44	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab wieder eine frage und zwar ist in beispiel 5.1.3 ein wahrscheinlichkeitsmass der form $\begin{eqnarray} \pi(i)=\frac{1}{Z_{n,\beta}} e^{-\beta H_n (i)} \end{eqnarray}$ angegeben und es heisst im text für $\begin{eqnarray} \beta =\infty \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ die gleichförmige verteilung auf den minimumspunkten von $\begin{eqnarray} H_n \end{eqnarray}$ dazu ein paar fragen: 1. heisst gleichförmig, dass es sich um die Gleichverteilung handelt? 2. müsste es statt minimumspunkten nich nullstellen heissen? 3. was passiert für $\begin{eqnarray} H_n<0 \end{eqnarray}$ (was im folgenden beispiel 5.1.4 auf jeden fall auftreten kann), da dann $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ja gleich unendlich ist, udn dass widerspricht doch der definition als wahrscheinlichkeitsmass
16.06.2006, 15:24	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1.: Ja, gemeint ist die diskrete Gleichverteilung auf all diesen Minimumpunkten, d.h. $\begin{eqnarray} \pi(i^)=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ falls es genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ solche Minimumpunkte $\begin{eqnarray} i^* \end{eqnarray}$ gibt. Zu 2.: Nein, Minimumpunkte ist schon richtig. Zu 3.: Nein, $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ist da nicht unendlich, dafür sorgt der Normierungsfaktor $\begin{eqnarray} Z_{n,\beta} := \sum\limits_i e^{-\beta H_n (i)} \end{eqnarray}$ , die Physiker nennen das glaube ich "Zustandssumme" o.ä. (korrigiert mich bitte). Du darfst nicht $\begin{eqnarray} \beta=\infty \end{eqnarray}$ setzen, sondern musst das als Grenzübergang $\begin{eqnarray} \beta\to\infty \end{eqnarray}$ begreifen. Und in dem Kontext ist $\begin{eqnarray} H_n(i)<0 \end{eqnarray}$ kein Problem. Tatsächlich ist es so, dass man die gleiche Verteilung erhält, wenn man das Potential $\begin{eqnarray} H_n \end{eqnarray}$ durch ein verschobenes Potential $\begin{eqnarray} H_n+C \end{eqnarray}$ ersetzt, d.h. mit gleicher Verschiebung $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ an allen Punkten $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray*}$ .
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16.06.2006, 19:00	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
das mit den minimumspunkten versteh ich leider nicht. wenn $\begin{eqnarray} H_n>0 \end{eqnarray}$ , geht $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ doch für alle i gegen 0 und sonst habe ich doch für $\begin{eqnarray} H_n(i)=0 , \pi (i)=\frac {1}{Z_{n,\beta}} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} H_n(i)<0 \end{eqnarray}$ irgendwas grösseres kann mir da irgendwie nicht vorstellen, dass da nur genau für die minimumspunkte was übrig bleibt und für alle andere 0 rauskommt
16.06.2006, 19:20	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du rechnest ganz einfach falsch, machst keine richtigen Grenzwertbetrachtungen - trotz meines Hinweises. Also mal von vorn: Sei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ unsere endliche Zustandsmenge, die sich gemäß $\begin{eqnarray} I=I_0\cup I_1 \end{eqnarray}$ zerlegen lässt, und zwar so, dass $\begin{eqnarray} I_0 \end{eqnarray}$ die endlich vielen Minimumzustände enthält und $\begin{eqnarray} I_1 \end{eqnarray}$ den Rest. Sei nun $\begin{eqnarray} i\in I_0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt mit dem Minimum $\begin{eqnarray} h:=H_n(i) \end{eqnarray}$ die Beziehungen $\begin{eqnarray} H_n(j)=h \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j\in I_0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} H_n(j)>h \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j\in I_1 \end{eqnarray}$ . Es folgt $\begin{eqnarray} \pi(i) = \frac{e^{-\beta H_n(i)}}{\sum\limits_{j\in I} e^{-\beta H_n(j)}} = \frac{e^{-\beta h}}{\sum\limits_{j\in I_0} e^{-\beta h}+\sum\limits_{j\in I_1} e^{-\beta H_n(j)}} = \frac{1}{\|I_0\|+\sum\limits_{j\in I_1} e^{-\beta (H_n(j)-h)}} \end{eqnarray}$ . Und wenn du hier jetzt $\begin{eqnarray} \beta\to\infty \end{eqnarray}$ gehen lässt, folgt $\begin{eqnarray} \pi(i)\to \frac{1}{\|I_0\|} \end{eqnarray}$ für dieses $\begin{eqnarray} i\in I_0 \end{eqnarray}$ .
17.06.2006, 19:10	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank jetzt hab ichs verstanden
17.06.2006, 21:13	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
hab die nächste frage. was ist der unterschied zwischen einer box und einem endlichen gitter? das einzige was ich mir vorstellen könnte, ist dass ein gitter nicht unbedingt "würfelförmig" sein muss, ist das richtig so?
17.06.2006, 21:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte der Autor, der diese Begriffe einführt, erklären. Wie sollen wir das wissen, wo das doch jeder Autor ein wenig anders handhabt?
21.06.2006, 15:51	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
so wollt mich nochmal bei allen (beiden) bedanken, die mir hier geholfen haben hab den vortrag heute mehr oder weniger erfolgreich hinter mich gebracht

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