diagonalisierbarkeit zeigen

04.06.2006, 15:27

lego

diagonalisierbarkeit zeigen

also

Aufgabenstellung:

Verifizieren SIe folgenden Satz, indem Sie die Matrix A auf Diagonalform transformieren.

Satz: Wenn eine reguläre Matrix A verschiedene Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3... \end{eqnarray*}$ mit zugehörigen Eigenvektoren hat, als Spalten in der Matrix

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & ... \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & ... \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & ...\\ ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist:

$\begin{eqnarray*} B^{-1} A B = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & \lambda_2 & 0 & ... \\ 0 & 0 & \lambda_3 & ...\\ ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} B^{-1} A B \end{eqnarray*}$ , auch Transformierte von A durch B genannt, ist eine Diagonalmatrix, die die Eigenwerte von A in der Hauptdiagonalen und sonst Nullen enthält, man sagt, dass A tranformiert oder auf Diagonalform reduziert wurde.

also das problem besteht eigentlich schon in der aufgabenstellung, da der satz für mich grammatikalisch falsch aussieht, ich keine ahnung habe, was gemeint sein könnte und außerdem weiß ich nicht, was ich beim ansatz des beweises verwenden darf, soll ich die matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & \lambda_2 & 0 & ... \\ 0 & 0 & \lambda_3 & ...\\ ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hernehmen, und dadurch die matrizen B^-1 und B bestimmen, die die matrix A diagonalisieren oder soll ich zeigen, dass wenn ich A diagonalisiere die Eigenvektoren in der Diagonalen stehen. Das wäre ja dann eine art abwandlung des spektralsatzes oder nicht?

05.06.2006, 13:54

Abakus

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RE: diagonalisierbarkeit zeigen
Zu zeigen ist das hier:

$\begin{eqnarray*} B^{-1} A B \stackrel{!}{=} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & \lambda_2 & 0 & ... \\ 0 & 0 & \lambda_3 & ...\\ ... & ... & ... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine erste Idee ist, auf beiden Seiten Einheits-Basisvektoren von rechts heranzumultiplizieren und jeweils zu zeigen, dass dasselbe herauskommt.

Grüße Abakus smile

08.06.2006, 23:26

tigerbine

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RE: diagonalisierbarkeit zeigen
Hallo,

also eigentlich sollst Du in dieser Aufgabe die Definition der Diagonalisierbarkeit einer regulären Matrix A verifizieren. Rein formal sagt man, A ist diagonalisierbar, wenn A ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist, d.h. es gibt eine (reguläre) Transformationsmatrix B mit B^(-1)AB = D. Auf der Diagonalen von D stehen dann die Eigenwerte von A.
In ziemlich jeden LinA Buch, z.B. Fischer findet sich nach der Definition folgende Äquivalenzaussage

(i) A ist diaginalisierbar

(ii) es gibt eine Basis des R^(n) aus Eigenvektoren von A (dass sind die Spalten von B

(iii) geoVielfachheit(EW) = algVielfachheit(EW) für alle EW von A

Vielleicht findest Du so eine ausgeschriebene Lösung, ist mir jetzt zu spät :-)

Ansonsten ist der Spektralsatz ein Spezialfall dieser Äquivalenzaussagen. Wenn A reg. und symmetrisch ist, dann sind die Transformationsmatrizen orthogonal und somit gilt B^(-1) = B^T, was ja einfacher zu berechnen ist.

09.06.2006, 13:11

lego

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also sollte ich die EW ausrechnen und in die diagonale einer matrix schreiben und dann versuchen, 2 matrizen B und B^-1 zu finden, die mulitpliziert mit dieser EW-Matrix die ausgangsmatrix ergeben?

09.06.2006, 23:43

Abakus

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Zitat:

Original von lego
also sollte ich die EW ausrechnen und in die diagonale einer matrix schreiben und dann versuchen, 2 matrizen B und B^-1 zu finden, die mulitpliziert mit dieser EW-Matrix die ausgangsmatrix ergeben?

Nein, die EW sind bereits vorgegeben, genauso wie die Matrizen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ . Du brauchst nur die Gleichung zeigen.

Grüße Abakus smile

10.06.2006, 13:06

tigerbine

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Servus, ich schreib dir die Aufgabe jetzt mal aus. Du sollst im Grunde folgende Aussage verifizieren:

Sind die EW $\begin{eqnarray*} \lambda_{1},...,\lambda_{n} \end{eqnarray*}$ einer Matrix A aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden, so sind die zugehörigen Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} b_{1},...,b_{n} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig (sonst würde B nicht invertierbar sein!) und A ist diagonalisierbar mit (*) D = $\begin{eqnarray*} B^{-1}AB \end{eqnarray*}$ , wobei die EV die Spalten von A sind.

Nun überprüfen wir (*):

Für jeden EV von A gilt dann $\begin{eqnarray*} Ab_{i}=\lambda_{i}b_{i} \end{eqnarray*}$ , also ist AB = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} | & ... & | \\ \lambda_{1}b_1 & ... & \lambda_{n}b_n \\ | & ... & | \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} B \begin{pmatrix} \lambda _1 & 0 & 0 \\ 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & \lambda _n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

damit folgt also $\begin{eqnarray*} B^{-1}AB = B^{-1}BD =D \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war

10.06.2006, 15:08

lego

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danke für die antworten, das muss ich mir nochmal überlegen.

ich hoffe ich darf mich dann nochmal mit problemen an euch wenden

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