Kern/Defekt von Matrix

04.06.2006, 17:13	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern/Defekt von Matrix Hallo, und gleich zur Sache: Zwei Vektorräume V und W sind gegeben durch ihre Basen V:A = (v_1, v_2, v_3) und W:B = (w_1, w_2, w_3, w_4) Die lin. Abbildung L : V -> W ist beschrieben durch die Matrix $\begin{eqnarray} M^{B}_A (L)=\begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 \\ -3 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es sind Kern, Rang und Defekt von L zu bestimmen. Den Kern hab ich mit dem üblichen Ansatz Lx=0 bestimmt, welcher $\begin{eqnarray} \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Für den Rang hab ich durch Umformen der Matrix 2 bestimmt. Jetzt wollte ich den Defekt über die Beziehung $\begin{eqnarray} dim V = def(L)+rang(L) \end{eqnarray}$ bestimmen. Da die Dimension von V = 3 ist und der Rang von L = 2 ist, müsste für meinen Defekt 3 - 2 = 1 rauskommen. Das wäre doch dann aber ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray} def(L) = dim( kern (L)) = 3 \end{eqnarray}$ . Wo liegt mein Denkfehler? Danke
04.06.2006, 17:18	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast den Kern bestimmt als Unterraum, der von einem Vektor erzeugt wird wie kommst du dann plötzlich auf dim(Kern)=3? dim(Kern)=1 kommt sowohl bei direkter Berechnung raus (ein Erzeuger des Kerns), als auch bei der Rangbestimmung mit 3-2=1 alles in Ordnung. PS: den Kern auszurechnen, dazu dann noch den Rang der matrix auszurechnen ist unnöig. Du hättest diesen wiederum über 3-1=2 bestimmen können.
04.06.2006, 18:11	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh, o.k. Verstehe nur folgende Zusatzaufgabe nicht: Beschreibe Kern von L für den Fall A = K = (e_1, e_2, e_3). Soll K jetzt mein "Master-über-vektorraum" sein? Ich sehe da keinen Unterschied zu den anderen Basisvektoren v_1, ... , denn die könnten ja auch die Einheitsvektoren e_1, ... sein.
04.06.2006, 18:14	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was ein "Masterübervektorraum" sein soll. Beachte aber, dass dein Kernerzeuger in Koordinantendarstellung zu der gegebenen Basis ist (also heißt (-1/1/2) nix anderes als -1v1+2v2+2*v3). Ist A die Standardbasis, dann ist diese Koordinatendarstellung genau das, was man daraus "direkt" lesen möchte. Also im Anschauungsraum wirklich die Gerade in die gegebene Richtung. Genaueres kann ich dir da auch nicht sagen.

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