Dichtefunktion [War: Noch eine konkrete Aufgabe]

05.09.2008, 13:29

pygospa

Dichtefunktion [War: Noch eine konkrete Aufgabe]

Folgende Aufgabe habe ich gefunden, wäre schön, wenn ihr mir sagen könntet, ob das richtig ist was ich hier so gerechnet habe.

Gegeben ist ein Graph im zweiten Quadranten, und zwar
- [0;a] verläuft der Graph konstant bei 0
- [a;b] verläuft der Graph linear zum Punkt c (also durch die punkte (0;a) und (b;c)
- [b;2a] verläuft der Graph linear konstant bei c.

Aufgaben:
1) Wie ist c zu bestimmen, damit der Graph eine Dichtefunktion beschreibt?
2) Gebe die Dichtefunktion an
3) Gebe die Verteilungsfunktion für $\begin{eqnarray*} a \leq x \leq b \end{eqnarray*}$ an.
4) Berechne die Wahrscheinlichkeit für b/2

1)
$\begin{eqnarray*} A_{f(x)} = \frac{(b-a)*c}{2} + (2a-b)*c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = c * (\frac{b-a}{2} + 2a-b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = c * (\frac{b-a}{2} + \frac{2*(2a-b)}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = c * (\frac{b-a+4a-2b}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = c * (\frac{3a-b}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = \frac{2}{3a-b} \end{eqnarray*}$

2)
$\begin{eqnarray*} f(x) \left\{ \begin{array}{l l} & f(x) = 0; \quad x < a; x>2a \\ & f(x) = \frac{c}{b-a} * x; \quad a \leq x \leq b \\ & f(x) = c ; \quad b \leq x \leq 2a \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

3)
(der Knackpunkt - mal sehen, ob ich's jetzt gelernt habe Augenzwinkern

Gesucht ist zwar nur im Intervall [a;b], ich möchte aber dennoch zu Übungszwecken das ganze Ding Integrieren. Also legen wir los:

Für x < a:
F(x) = 0

Für $\begin{eqnarray*} a \leq x \leq b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = F(0) + \int_{0}^{x}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 + \int_{0}^{x}~\frac{c}{b-a}*x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [\frac{c}{2*(b-a)}*x^2]_{0}^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{c}{2b-2a}*x^2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a \leq x \leq b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = F(b) + \int_{b}^{x}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{c*b^2}{2b-2a} + \int_{0}^{x}~c~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{c*b^2}{2b-2a} +[c*x]_{b}^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{c*b^2}{2b-2a} +[c*x - c*b] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{c*b^2}{2b-2a} + c(x - b)] \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \leq 2a \end{eqnarray*}$
F(x) = 1.

Ist das so richtig? Zumindest von den Verlauf der Funktionen kommt es hin.

4)

$\begin{eqnarray*} P(x \leq \frac{b}{2}) = F(\frac{b}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(\frac{b}{2}) = \frac{c}{2b - 2a} * \frac{b}{2}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{c}{2b - 2a} * \frac{b^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{cb^2}{8b-8a} \end{eqnarray*}$

ModEdit: Titel verunglückt. Aufgaben sind sie alle, ob konkret oder nicht. Geändert! mY+

05.09.2008, 16:04

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Fangen wir mal hier an:

Zitat:

Original von pygospa
$\begin{eqnarray*} f(x) \left\{ \begin{array}{l l} & f(x) = 0; \quad x < a; x>2a \\ & f(x) = \frac{c}{b-a} * x; \quad a \leq x \leq b \\ & f(x) = c ; \quad b \leq x \leq 2a \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Der zweite lineare Teilabschnitt muss mit $\begin{eqnarray*} f(a)=0 \end{eqnarray*}$ starten und mit $\begin{eqnarray*} f(b)=c \end{eqnarray*}$ enden, das sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0 & \quad x < a \vee x>2a\\ \frac{c}{b-a} \cdot (x-a) & \quad a \leq x \leq b \\ c & \quad b \leq x \leq 2a \end{cases} \end{eqnarray*}$

Danach kommen noch jede Menge weiterer (nicht nur Folge-)Fehler, fast alle davon basieren auf dem ständigen Durcheinanderwerfen von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ...

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