Fourier

04.06.2006, 20:21

Pr0

Fourier

Die 1-priodische Funktion $\begin{eqnarray*} h_d (x) \end{eqnarray*}$ ist durch ihre Fourier-Reihe $\begin{eqnarray*} h_d (x) = \sum_n c_n e^{2\pi inx} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h_d(x) = g_d (10^x ) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} g_d(\lambda) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{d 10^k}^{(d+1)10^k} f(t)dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-\lambda d 10^k} (1-e^{-\lambda 10^k}) \end{eqnarray*}$ , gegeben.

Warum gilt nun für die Koeffizienten:
$\begin{eqnarray*} c_n = \int_0^1 h_d (x) e^{-2\pi inx} dx= \int_0^1 \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-d 10^{x+k}}(1-e^{-10 ^{x+k}}) e^{-2\pi in(x+k)}dx\\=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-d10^x}(1-e^{-10^x})e^{-2\pi inx} dx \end{eqnarray*}$

05.06.2006, 14:03

Abakus

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RE: Fourier
Welches Gleichheitszeichen von der Gleichungskette ist dir unklar ?

Beim ersten kannst du es ausrechnen, das zweite ist die Formel für g und h eingesetzt und das dritte ist die Additivität des Integrals (Integrationsintervalle zusammengefügt).

Grüße Abakus smile

05.06.2006, 17:00

Pr0

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RE: Fourier
1. Warum steht hier nicht $\begin{eqnarray*} c_n = \frac{2}{p} \int_0^1 ... \end{eqnarray*}$ wobei p die Periodenlänge angibt?

2. Warum gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-d 10^{x+k}}(1-e^{-10 ^{x+k}}) e^{-2\pi in(x+k)}dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-d10^x}(1-e^{-10^x})e^{-2\pi inx} dx \end{eqnarray*}$

05.06.2006, 20:40

Abakus

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RE: Fourier

Zitat:

Original von Pr0
1. Warum steht hier nicht $\begin{eqnarray*} c_n = \frac{2}{p} \int_0^1 ... \end{eqnarray*}$ wobei p die Periodenlänge angibt?

Wenn du $\begin{eqnarray*} z := 2 \pi x \end{eqnarray*}$ substituierst, bekommst du den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \pi} \end{eqnarray*}$ vor die Formel (das ist dann die normale Def. für die komplexen Fourierkoeffizienten). Wenn du dies in die reelle Fourierreihe umschreibst, kriegst du noch die 2 bei den Formeln für die reellen Fourierkoeffizienten im Zähler dazu.

Als Periodenintervall wird hier dann $\begin{eqnarray*} [0, 2 \pi[ \end{eqnarray*}$ verwendet.

Zitat:

2. Warum gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-d 10^{x+k}}(1-e^{-10 ^{x+k}}) e^{-2\pi in(x+k)}dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-d10^x}(1-e^{-10^x})e^{-2\pi inx} dx \end{eqnarray*}$

Hier ist (geeignete Konvergenzeigenschaften vorausgesetzt):

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-d 10^{x+k}}(1-e^{-10 ^{x+k}}) e^{-2\pi in(x+k)}dx = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_0^1 e^{-d 10^{x+k}}(1-e^{-10 ^{x+k}}) e^{-2\pi in(x+k)}dx \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt k alle ganzen Zahlen durchläuft und x zwischen Null und Eins liegt, nimmt (x + k) alle reellen Zahlen an. D.h. hier werden abzählbar viele Integrations-Intervalle aneinandergeklebt.

Grüße Abakus smile

05.06.2006, 21:22

Pr0

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RE: Fourier
Aha,
also kann ich das weglassen von 2/p durch $\begin{eqnarray*} \Bbb C \end{eqnarray*}$ begründen?
Wie kann ich das Vertauschen von Summe und Integral beim zweiten Problem rechtfertigen?

05.06.2006, 21:59

Abakus

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RE: Fourier

Zitat:

Original von Pr0
Aha,
also kann ich das weglassen von 2/p durch $\begin{eqnarray*} \Bbb C \end{eqnarray*}$ begründen?

Du solltest es besser genau nachvollziehen: also Substitution nach Subst.regel für Integrale und Umwandlung komplexe in reelle Fourierkoeffizienten und umgekehrt.

Zitat:

Wie kann ich das Vertauschen von Summe und Integral beim zweiten Problem rechtfertigen?

Sicher müssen alle Teile existieren, insbesondere das Integral und die Reihe. Wenn du es exakt begründen willst, könntest du zB auf die Definition des Integrals zurückgehen und dann die Summationen vertauschen. Da es hier wohl mehr um Fourier-Reihen geht, würde ich solche Sachen aber eher voraussetzen.

Grüße Abakus smile

05.06.2006, 22:12

Pr0

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RE: Fourier
Oki, also das zweite ist mir mittlerweise klar, aber wie genau zeige ich die Substitutionsgeschichte? Kannst du mir mal nen Ansatz liefern? Das wäre so super.. smile

06.06.2006, 11:53

Abakus

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RE: Fourier
Zur Substitution ist der Ansatz: $\begin{eqnarray*} z := 2 \pi x,~ dz = 2 \pi~dx,~ dx = \frac{1}{2 \pi}~dz \end{eqnarray*}$ .

Also:

$\begin{eqnarray*} c_n = \int_0^1 h_d (x) e^{-2\pi inx} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2 \pi}~\int_0^{2 \pi} h_d (\frac{z}{2 \pi})~ e^{- i n z}~ dz \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

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