Definitonen Randpunkt / Häufungspunkt

05.06.2006, 12:23

o.B.d.A.

Definitonen Randpunkt / Häufungspunkt

Hallo zusammen!

Mir sind folgende Definitionen von Randpunkt und Häufungspunkt geläufig:

Sei (M,d) metr. Raum und $\begin{eqnarray*} A \subseteq M \end{eqnarray*}$ .

Ein Punkt $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ heißt Randpunkt von A, wenn in jeder Umgebung von a sowohl Punkte aus A als auch aus dem Komplement M\A liegen.

Ein Punkt $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ heißt Häufungspunkt von A, wenn jede Umgebung von a einen Punkt aus A enthält, der von a verschieden ist.

Nun habe ich aber gelesen, dass ein Punkt $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ Randpunkt von A heißt, wenn a ein Häufungspunkt von A als auch ein Häufungspunkt von M\A ist.
Auf den ersten Blick hört sich das auch einleuchtend an, allerdings glaube ich, dass das mit meinen Definitionen doch nicht passt.

Mal ein kurzes Beispiel:
Sei $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ . Nach Def ist a ein Randpunkt, wenn in jeder Umgebung von a sowohl Punkte aus A als auch aus dem Komplement M\A liegen. D.h. doch mindestens zwei Punkte in A als auch mindestens zwei im Komplement in jeder Umgebung liegen.
Nach der Def des Häufungspunktes ist sichergestellt, dass wenn a ein HP von A ist es einen weiteren Punkt aus A in jeder Umgebung gibt, da ja $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ .
Wenn aber auch a ein HP von M\A ist ist nur sichergestellt, dass jede Umgebung einen Punkt aus M\A enthält.
Damit liefert doch aber die "alternative" Def, dass in jeder Umgebung von a mind zwei Punkte aus A, aber nur mind ein Punkt aus M\A enthalten ist und nicht dass sowohl Punkte aus A als auch aus dem Komplement in jeder Umgebung liegen.

Hoffe mein Problem ist verständlich beschrieben smile

VG, o.B.d.A. smile

05.06.2006, 13:00

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
beachte, dass ein Häufungs-/Randpunkt nicht zur Menge dazugehören muss.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ . Nach Def ist a ein Randpunkt, wenn in jeder Umgebung von a sowohl Punkte aus A als auch aus dem Komplement M\A liegen. D.h. doch mindestens zwei Punkte in A als auch mindestens zwei im Komplement in jeder Umgebung liegen.

hier wird in jeder punkterten Epsilonkugel (punktiert heißt ohne den Mittelpunkt) EIN Punkt in A und EIN Punkt in M\A gefordert; genau die Definition von Häufungspunkt der beiden Mengen.
In der ganzen Espilonkugel muss dann prinzipiell nur ein Punk aus M\A liegen (wieso sollte ein zweiter gefordert werden), auch wenn mir dazu keine Beispiel einfällt.

05.06.2006, 22:27

quarague

Auf diesen Beitrag antworten »

beachte auch, das du bei den meisten Definitionen wenn du einen Punkt hast auch unendlich viele haben kannst und zwar nach folgendem Prinzip:
Angenommen es gibt in jeder $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ Kugel um einen Punkt p mindestens einen anderen Punkt $\begin{eqnarray*} q \neq p \end{eqnarray*}$ mit einer beliebigen gewünschten Eigenschaft.
Dann gibt es in dieser $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ Kugel auch unendlich viele Punkte mit der gewünschten Eigenschaft.
Wähle einen Punkt q mit der gewünschten Eigenschaft, dieser hat zu p einen Abstand d > 0. Wenn jetzt die Existenzaussage auf die Kugel mit radius d/2 halbe an. Dort gibt es einen weiteren Punkt q', der auch die gewünschte Eigenschaft hat. Rekursiv fortsetzen liefert beliebig viele Punkte.
So weit ich dich verstanden habe, ist es damit irrelevant ob in deinen Definitionen Existenz von einem oder zwei Punkten gefordert wird.

Neue Frage »

Antworten »

Definitonen Randpunkt / Häufungspunkt

Verwandte Themen