Zusammenhang zwischen Fläche und Umfang

05.09.2008, 18:22	salla	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang zwischen Fläche und Umfang Hallo , stehe gerade ein bißchen auf dem Schlauch bei folgender Aufgabe: Eine 400m-Laufbahn, bestehend aus 2 parallelen Geraden mit zwei angesetzten Halbkreisen, soll so angelegt werden, dass der Inhalt des Rechtecks zwischen den Geraden möglichst groß wird. Wie lang ist die Gerade, wie groß ist das Rechteck? Also meine Ansätze waren bisher: Die Seite "b" des Rechtecks entspricht dem Durchmesser des Kreises: d=b Des Weiteren habe ich mir gedacht dass A ges=A rechteck + A kreis sein muss, also: $\begin{eqnarray} A ges = \frac{b^2\pi }{4} + ab \end{eqnarray}$ und U=b\pi +2a Nur leider habe ich immer noch 3 Unbekannte aber nur zwei Gleichungen. Gibt es vielleicht eine Formel, die den Zusammenhang von Fläche und Umfang beschreibt? Kann mir da jemand weiterhelfen? Vorab schon mal vielen Dank für jede Hilfe! Lg
05.09.2008, 18:32	Yoshee	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine Optimierungsaufgabe, d.h. du "darfst" ruhig eine Unbekannte übrig behalten (bzw. 2). Es ist hier ja sozusagen gefragt, wie a bzw. b sein muss, damit die Fläche maximal wird. Warum möchtest du denn die Gesamtfläche brechnen? Es ist doch nach der Fläche des Rechtecks gefragt. Ansonsten ist der Ansatz genau richtig. Da du den Umfang kennst, kannst du nach a oder b umstellen, und dann in die Flächenformel einsetzen, die dann nur noch von einer Variablen abhängt.
05.09.2008, 18:59	salla	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Gesamtflächenberechnung hast du recht, das hatte ich gar nicht bedacht-danke ! Mein Problem ist jetzt nur noch dass ich eine konkrete Lösung vorgegeben habe, die nicht mehr von einer Unbekannten abhängig ist, nämlich a=100m und A=6366 m^2. Deswegen weiß ich auch nicht, wie ich das berechnen soll bzw. wie ich auf diese Werte komme...oder hab´ ich da was falsch verstanden?
05.09.2008, 19:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun .... bei Extremwertaufgaben muss man doch die 1. Ableitung der zu optimierenden Funktion Null setzen, hast du daran schon gedacht? mY+
05.09.2008, 19:37	salla	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, daran hatte ich bis jetzt noch nicht gedacht...aber besten Dank für den Tip. Habe das jetzt gerade mal durchgerechnet und komme zu folgendem Ergebnis: $\begin{eqnarray} a = \frac{400m - b\pi}{2} \end{eqnarray}$ in A = ab eingesetzt: $\begin{eqnarray} A = \frac{400m - b\pi}{2} b \end{eqnarray}$ wird die Ableitung gleich Null gesetzt ergibt sich $\begin{eqnarray} b = \frac{200}{\pi} \end{eqnarray}$ und somit für a = 100m. So müsste es eigentlich richtig sein, denn es kommt genau hin. Also vielen, vielen Dank für deine Hilfe !
05.09.2008, 19:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es stimmt! Sehr gut, stimmt mY+
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