Beweis für Newton Interpolation

05.06.2006, 20:22	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für Newton Interpolation Hi. Mein Problem ist der Beweis dafür, dass die jeweils dividierten Differenzen $\begin{eqnarray} [x_i,....x_{i+k}] \end{eqnarray}$ die Koeffizienten $\begin{eqnarray} A_r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ( r=i,...,i+k) \end{eqnarray}$ für das Newton-Interpolationpolynom sind. Den Beweis dazu ist im Ansatz klar, aber der entscheidende Schluss ist mir nicht in die Birne zu bekommen. Beweis: Induktionsanfang: k=0 d.h. $\begin{eqnarray} p_{i,i}(x)=f_i=[x_i] \end{eqnarray}$ Induktionsvorraussetzung: Die Aussage gelte für k-1 Induktionsschluss: $\begin{eqnarray} p_{i,i+k}(x) = P_{i,i+k}+c(x-x_i).....(x-x_{i+k-1}) \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} c=[x_i,....,x_{i+k}] \end{eqnarray}$ Es gilt : $\begin{eqnarray} p_{i,i+k}(x)=\frac{(x-x_i)P_{i+1,i+k}(x)-(x-x_{i+k})P_{i,i+k-1}(x)}{x_{i+k}-x_i} \end{eqnarray}$ durch die Behauptung. Soweit klar... Daraus folgt nun direkt, dass gilt: $\begin{eqnarray} c= \frac{[x_{i+1},....,x_{i+k}]-[x_i,....,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i} \end{eqnarray}$ Diesen letzten Schritt verstehe ich nicht. Vielleicht hat ja jemand einen Denkanstoss für mich Danke Tom
05.06.2006, 21:17	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für Newton Interpolation Das c ist soweit ich es sehe der Koeffizient von $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ . Demnach musst du nur schauen, welche Koeffizienten die Terme $\begin{eqnarray} x^{k-1} \end{eqnarray}$ der beiden Polynome in deiner Differenzenformel haben (das müsste aus der IV hervorgehen). Damit sollte es sich ergeben. (Mit p und P meinst du die gleichen Polynome ?) Grüße Abakus
06.06.2006, 16:55	TomBombadil	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Ja mit P und p sind die gleichen Polynome gemeint, sry-> Tippfehler So in etwa habe ich mir dass auch überlegt, aber ich komme nicht darauf: $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ ist ja der Koeffizient von $\begin{eqnarray} (x-x_0).....(x-x_{i-1}) \end{eqnarray}$ ...... Damit ist der Koeffizient das Monom $\begin{eqnarray} x^{i} \end{eqnarray}$ wohl $\begin{eqnarray} 1 A_i \end{eqnarray*}$ ....ich werde mich mal weiter daran versuchen(ist bestimmt nur wieder ein einfacher Gedankendreher) Danke soweit

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